Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

                        (24.8)

а  К_п , К_п–1, К_п–2, …  получаются из выражений I_п–1, I_п–2, I_п–3, … окаймлением определителей, входящих в выражения для   I_k , соответствующими коэффициентами линейной формы и свободным членом  с  уравнения квадрики.

      В частности, рассмотрим общее уравнение квадрики в четырехмерном евклидовом пространстве

После нахождения корней характеристического  уравнения  и инвариантов   вид преобразованного уравнения можно определить из следующей таблицы 
 
 
 

      П р и м е р. Привести уравнение  к каноническому виду и определить вид квадрики в Е_4:

      Р е ш е н и е.

1. Выпишем  коэффициенты уравнения.

2. Составим  характеристическое уравнение

Разложив  определитель по элементам третьей  строки, найдем:

3. Вычислим  инвариант 

4. Вычисляем  определитель  , который получается из окаймлением его числами

5. Он  равен нулю, поэтому вычисляем инвариант как сумму диагональных миноров третьего порядка матрицы .

= 0

6. Находим  , окаймляя все миноры выражения соответствующими числами 

(Первый, третий и четвертый определители  содержат нулевую строку, а во втором 1 и 3 строки одинаковы).

7. Далее  находим  как сумму диагональных миноров второго порядка матрицы .

= –8.

Наконец, вычисляем  , окаймляя определители в выражении соответствующими

Имеем случай = 0, = 0,  = 0, = 0,  ¹ 0. По таблице находим уравнение или . Это – пара пересекающихся гиперплоскостей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература: 

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс
2. ГЕОМЕТРИЯ  Учебно-методический комплекс для студентов - заочников, обучающихся по направлению– «Бакалавр физико-математического образования
3. Атанасян, Л. С. Геометрия : учеб. пособие для студентов ФМК Просвещение, 1986.
4. Базылев, В. Т. Геометрия. Просвещение, 1974. – 351 с.
5. Геометрия / М. Е. Деев   Горно-Алтайск .
6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике
7. Погорелов, А. В. Геометрия : учеб. пособие для вузов
8. Комиссарук, А. М. Аффинная геометрия