Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

  Министерство  науки  образования  Российской Федерации

Горно-Алтайский  государственный  университет

Физико-математический факультет заочное  отделение

Кафедра алгебры, геометрии  и  методики преподавания математики 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

По:   Геометрии 

На  тему:      Квадрики в трехмерном пространстве

и их классификация 
 
 
 
 

                                                                  Выполнила: студентка 2 курса

                                                                                         Улагашева Н.К.

                                                                  Проверил:  __________________

                                                                  _____________________________ 
 
 

г. Горно-Алтайск

2011г.

Содержание.

1. Введение …………………………………………………   1
2. Типы поверхностей второго порядка…………………  2
3. Эллипсоид…………………………………………………   6
4. Однополостный гиперболоид…………………………..   7
5. Двуполостный гиперболоид ……………………………   8
6. Эллиптический параболоид. …………………………....   9
7. Гиперболический параболоид. ………………………… 10
8. Гиперболический параболоид. …………………………. 11
9. Квадрики в евклидовом  п-пространстве …………….. 12

10. Лтература…………………………………………………. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

    Трехмерное пространство — геометрическая модель материального мира, в котором мы находимся. Это пространство называется трёхмерным, так оно имеет три измерения — высоту, ширину и длину, то есть трёхмерное пространство описывается тремя единичными ортогональными векторами.

                                   

                             Трёхмерная метрика пространства

      Множество вида X(Q) = {p:Q(p) = 0}, где Q — аффинно-квадратичная функция (если оно не пусто и не плоскость) называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка.

      Квадрика  на плоскости – геометрическая фигура, являющаяся  линией второго порядка.

      Квадрика в пространстве – геометрическая фигура, являющаяся поверхностью второго порядка

   В алгебраической геометрии, квадрика — проективное алгебраическое многообразие, которое можно задать однородным квадратным уравнением.

Квадрика - поверхность 2-го порядка. В трехмерном пространстве (проективном, аффинном или евклидовом) К. есть множество точек, однородные координаты х 0, х 1, х 2, х 3 к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют однородному уравнению 2-й степени.

   Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты, которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0

в котором  по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля

Типы  поверхностей второго  порядка 

Цилиндрические  поверхности

      Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей, целиком принадлежит поверхности S.

     Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).

       Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

     Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

     Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка. 

 

Коническая  поверхность 

     Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через M0 и O, целиком принадлежит этой поверхности.

     Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если  выполняется следующее:  

 

Коническая  поверхность.

Теорема (об уравнении конической поверхности).

       Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если  поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом  второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

      Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

 

Поверхности вращения

     Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом  целиком принадлежит этой поверхности.

         Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

     Теорема (об уравнении поверхности вращения).

     Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x2 + y2,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ. 

  Эллипсоид. 

  Если  в уравнении поверхности  F(x, y, z) = 0 левая часть уравнения есть многочлен второй степени, то это – поверхность второго порядка. Рассмотрим некоторые виды таких поверхностей.

  Множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению   называется  эллипсоидом (трехосным эллипсоидом).

                             

Исследуем уравнение и определим форму  поверхности.

  1. Координаты точки О(0, 0, 0) не удовлетворяют уравнению эллипсоида, следовательно, поверхность не проходит через начало координат.

  2. Переменные x, y, z  входят в уравнение в четной степени, значит, поверхность симметрична относительно координатных плоскостей и начала координат.

  3. Из уравнения  следует: .

  4. Поверхность пересекает оси координат  в точках А₁(а,0,0),  А₂(–а,0,0), В₁(0,b,0), B₂(0,–b,0), C₁(0,0,c), C₂(0,0,–c). Это вершины эллипсоида.

  5. Исследуем форму эллипсоида  методом сечений.

  Пересечем его плоскостью, параллельной (х0у) и заданной уравнением  z=h. Решая его совместно с уравнением эллипсоида, получим уравнение совокупности эллипсов

   

(Здесь  k принимает определенные значения в зависимости от заданного h).

  Аналогично, пересекая  эллипсоид плоскостями  y = h  или    х = h, также получим множество эллипсов. Если все полуоси эллипсоида равны между собой  ( , то  эллипсоид   есть    сфера   х²  + у² + z²= a². 

Однополостный гиперболоид.

  Множество точек  пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению называется однополостным гиперболоидом    ( с осью (оz)). 

                     

              

  Исследуем форму поверхности по приведенной  схеме.

  1. Гиперболоид не проходит через начало координат.

  2. Гиперболоид симметричен относительно  осей и начала координат.

  3. Поверхность пересекает ось (Ох) в точках  А₁(а,0,0) и     А₂(–а.0,0), ось (Оу) – в точках  В₁(0, b, 0)  и B₂(0,–b,0). Ось (Оz) поверхность не пересекает.

  4. Исследуем гиперболоид методом сечений:

  Пересечем его плоскостями, параллельными (х0у). Для этого решим систему уравнений гиперболоида и z=h. Получим уравнение семейства эллипсов ,   где  

Если  h=0, то получаем уравнение горлового, самого малого эллипса, лежащего в плоскости (х0у): .

  Если  пересечем поверхность плоскостями, параллельными (у0z), то есть x=h, то, при h= получаем пару пересекающихся в начале координат прямых, при получаем семейство гипербол с действительными осями, параллельными (Оу), а при cемейство гипербол с действительными осями, параллельными (Оz). В частности, при h = 0, имеем «главное» сечение в плоскости (у0z) – гиперболу   .

  Аналогичные сечения получим при пересечении  гиперболоида  плоскостями, параллельными (x0z), заданными уравнениями y=h.  При h=0 – «главное» сечение- гипербола . 

Двуполостный  гиперболоид. 

  Двуполостным  гиперболоидом называется множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению . (гиперболоид с осью (0z))  

            

  1. Гиперболоид не проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно осей  и начала координат.

  3. Из уравнения гиперболоида следует,  что переменные х и у принимают любые значения,  а  .

  4. Поверхность пересекает только  ось (Оz) в точках  С₁(0,0,с) и С₂(0,0,–с).