Квадрики в трехмерном пространстве и их классификация

  5. При пересечении плоскостями,  параллельными (х0у), z=h, при h получаем семейство эллипсов.

  При  x = h – семейство гипербол, причем при х = 0 имеем «главную» гиперболу . 

  При у=h – семейство гипербол, причем при у=0  получается «главная»  гипербола   .

  Если  в уравнении гиперболоида  , то имеем двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения (Оz).

  Уравнениями   и задаются гиперболоиды с осями, соответственно, (0х)  и (0у). 

  Эллиптический параболоид. 

  Множество точек пространства, координаты которых  в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению называется эллиптическим параболоидом (с осью (0z)).

  

  1. Проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно оси  (0z) , плоскостей (х0z) и (у0z).

  3. Из уравнения параболоида следует,  что  переменные х и у принимают любые значения,  a   переменная z .

  4. Поверхность пересекает оси только  в начале координат.

  5. Пересекая  параболоид плоскостями,  параллельными (х0у), получаем семейство эллипсов , причем  при z=0  имеем вершину О(0,0,0).

  В сечении параболоида плоскостями, параллельными  (х0z) и (y0z) получаем семейства парабол с осями, параллельными (Оz). В самой плоскости (х0z) имеем «главную» параболу  , а в плоскости (у0z) – параболу  .

  Уравнениями  и задаются параболоиды с осями, соответственно,  (0х)  и (0у).

  Если  в уравнении параболоида правая часть отрицательная, то и параболоид расположен в системе координат  соответственно вдоль «отрицательной» оси координат.  
 

Гиперболический параболоид.     

       Множество точек пространства, координаты которых в некотором ортонормированном репере удовлетворяют уравнению , называется гиперболическим параболоидом (с осью (0z)). 

  

  1. Проходит через начало координат.

  2. Симметричен относительно оси  (0z), плоскостей (х0z) и (у0z).

  3. Из уравнения параболоида следует,  что все переменные принимают  любые значения.

  4. Поверхность пересекает оси координат  только в О(0,0,0).

  5. Пересечем  параболоид плоскостями, параллельными (х0у), т.е. z=h. Тогда, из уравнения следует, что при получаем семейство гипербол с действительными осями, параллельными оси (Ох), при получаем пару пересекающихся прямых , а при -семейство гипербол с осями, параллельными оси (0у).

     При пересечении параболоида плоскостями, параллельными (х0z), имеем семейство парабол, причем, при у=0 получаем «главную» параболу .

     Пересекая поверхность плоскостями,  параллельными (уОz), получаем также семейство парабол, но направленных ветвями вниз. При х=0 получаем «главное» сечение – параболу  .

  Уравнениями  и задаются  гиперболические параболоиды с осями, соответственно, (0у) и (0х). 

Гиперсфера 

      Будем называть  т-мерной сферой евклидова пространства  или, короче,  т-сферой, множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (т+1)-плоскости и отстоящих от точки, называемой центром, на одном и том же расстоянии , называемом радиусом  т-сферы.

      При  т = п +1  т-сфера называется гиперсферой, и определяется как множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки – центра гиперсферы.

      При  т =1  т-сфера называется окружностью.

      Пусть  ( i = 1, 2, …, n) – центр гиперсферы, R – ее радиус. Выберем текущую точку М(хⁱ)  на гиперсфере. По определению МС = R или:

Возводя обе части в квадрат, получим уравнение гиперсферы

      (21.1)

или, после  раскрытия скобок,

            (21.2)

Уравнение (21.2) является частным случаем общего уравнения второй степени

         (21.3)

Сравнивая уравнения (21.2) и (21.3), видим, что для  того, чтобы уравнение (21.3) было уравнением гиперсферы, необходимо, чтобы все  коэффициенты были равны между собой, а все были равны нулю.

      Если центр гиперсферы находится в начале координат, то ее уравнение принимает наиболее простой вид:

                     (21.4) 
 
 

Взаимное  расположение гиперсферы и гиперплоскости 

      Рассмотрим  гиперсферу радиуса R с центром в начале координат. Она задается уравнением (21.4). Исследуем ее взаимное расположение с гиперплоскостью

Найдем  расстояние от центра О гиперсферы до гиперплоскости

Возможны  следующие случаи их взаимного расположения:

1)    – гиперплоскость не пересекает гиперсферу;

2)    – гиперплоскость касается гиперсферы (имеет

                       с ней одну общую точку);

3)    – гиперплоскость  пересекает  гиперсферу  по

                      (п – 2)-сфере. 
 

  Квадрики в евклидовом  п-пространстве 

      Квадрикой или поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид:

        (23.1)

Центром квадрики называется ее центр симметрии. Это значит, что если поместить начало координат в центр квадрики, то вместе с каждой точкой  М(хⁱ)  квадрике будет принадлежать и точка  М¢ (– хⁱ)  . Подставив координаты  в уравнение (23.1), имеем

                         (23.2)

Складывая (23.1) и (23.2), получим уравнение квадрики, имеющей центр в виде:

                                     (23.3) 

Если  оси прямоугольной декартовой системы  направить по главным направлениям квадрики, квадратичная форма 

принимает канонический вид, и уравнение (23.3) преобразуется  к виду:

          (23.4)

Далее, в зависимости от коэффициентов  и с, получаются следующие квадрики: 

1. Эллипсоид

                  (23.5)

2. Мнимый эллипсоид

                  (23.6)

3. Гиперболоид индекса l

     (23.7)

4. Конус индекса l

    (23.8)

5. Мнимый конус

                   (23.9)

6. Эллиптический цилиндр с (n – r)-мерными образующими

    (r < n)        (23.10)

7. Гиперболический  цилиндр  индекса l  с (n – r)-мерными образующими

       (23.11)

8. Мнимый цилиндр

               (23.12)

9. Конус индекса l  с (n – r)-мерной вершиной

      (23.13)

10. Мнимый конус с  (n – r)-мерной вершиной

                     (23.14)

Если квадрика не имеет центра, ее уравнение приводится к виду:

,

а затем, в зависимости от коэффициентов  , получаются:

11. Эллиптический параболоид

     (23.15)

12. Гиперболический параболоид индекса  l

    (23.16)

Если  ,  то уравнения (23.15)  и (23.16)  определяют соответственно параболический и гиперболический цилиндры с (n – r –1)-мерными образующими. 

13. Пара пересекающихся гиперплоскостей (действительных или мнимых)

                        (23.17)

14. Пара параллельных гиперплоскостей (действительных или мнимых)

                             (23.18)

15. Пара совпавших гиперплоскостей

                                 (23.19) 
 

  Исследование уравнений  квадрик при помощи инвариантов 

      Пусть дано общее уравнение квадрики в  п-мерном евклидовом пространстве

С помощью  преобразования системы координат  оно приводится к одному из следующих  простейших уравнений:

,                (24.1)

если  I_n ¹ 0;       

,        (24.2)

если  I_n = 0,  K_n+1 ¹ 0; 

,                   (24.3)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 ¹ 0;   

,        (24.4)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 = 0,  К_п ¹ 0;  

  ,                                   (24.5)

если  I_n = 0,  K_n+1 = 0 ,  I_n–1 = 0, …,  I₂ = 0,  K₃ = 0 ,  I₁ ¹ 0,

где в каждом случае – отличные от нуля корни характеристического уравнения

,           (24.6)

I_n – определитель матрицы :

,                      (24.7)

I_n–1 –сумма диагональных миноров п –1 порядка определителя I_n:

 

I_n–2 – сумма диагональных миноров  п –2  порядка определителя  I_n,  и т.д.,  наконец,  I₁ = . Далее, определитель К_{n +1}  получен из I_n окаймлением коэффициентами :