Конспект лекций по начертельной геометрии

1. Прямая лежит в некоторой плоскости.

2. Прямая параллельна некоторой плоскости.

3. Прямая пересекает данную плоскость.

Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости. Прямая является параллельной плоскости, когда она  параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р , так как она параллельна прямой MN , которая лежит в этой плоскости.

 

 

Когда прямая параллельна  плоскости Р , в этой плоскости через какую-либо ее точку можно провести прямую, параллельную данной прямой. Например, на рисунке 53 прямая АВ параллельна плоскости Р . Если через точку М , принадлежащую плоскости Р , провести прямую NM , параллельную АВ , то она будет лежать в плоскости Р . На том же рисунке прямая CD не параллельна плоскости Р , потому что прямая KL , которая параллельна CD и проходит через точку К на плоскости Р , не лежит в данной плоскости.

3. Прямая, пересекающая плоскость

 

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо построить линии пересечения двух плоскостей. Рассмотрим прямую I и плоскость Р (рис. 54).

 

 

Рассмотрим построение точки  пересечения плоскостей.

Через некоторую прямую I необходимо провести вспомогательную  плоскость Q (проецирующую). Линия II определяется как пересечение плоскостей Р и Q . Точка К, которую и требуется построить, находится в пересечение прямых I и II. В этой точке прямая I пересекает плоскость Р .

В данном построении основным моментом решения является проведение вспомогательной плоскости Q , проходящей через данную прямую. Можно провести вспомогательную плоскость общего положения. Однако показать на эпюре проецирующую плоскость, используя данную прямую, проще, чем провести плоскость общего положения. При этом через любую прямую можно провести проецирующую плоскость. На основании этого вспомогательная плоскость выбирается проецирующей.

4. Прямая, перпендикулярная плоскости

 

Прямая и плоскость  перпендикулярны, если на плоскости  можно найти две пересекающиеся прямые, перпендикулярные исходной прямой. В качестве подобной пары контрольных  прямых легче всего рассматривать  следы плоскости P _hи P _v(рис. 55). Это вызвано тем, что прямой угол между перпендикуляром к плоскости и следом P _hдает проекцию на горизонтальную плоскость без искажения, а угол между перпендикуляром и следом Р _vпроецируется на фронтальную плоскость V .

 

 

Итак, признак перпендикулярности можно задать, используя прямую и плоскость на эпюре.

Прямая является перпендикулярной плоскости, когда проекции прямой перпендикулярны  одноименным следам плоскости.

 

Лекция  № 6. Проекции геометрических тел

1. Призма и пирамида

 

Рассмотрим прямую призму, которая стоит на горизонтальной плоскости (рис. 56).

 

 

Ее боковые грани являются частями горизонтально-проецирующих плоскостей, а ребра являются отрезками  вертикальных прямых. Исходя из этого  ребра следует проецировать на горизонтальную плоскость в виде точек, а на фронтальную  плоскость – без искажения (AA = a?a? ₁и т. д.).

Нижнее основание призмы ABC находится в горизонтальной плоскости, поэтому ее можно изобразить на этой плоскости без искажения: ?ABC = ?abc . Фронтальная проекция пирамиды а?b?с? совпадает с осью х.

Оба основания дают одинаковые горизонтальные проекции (?abc = ?a ₁b ₁c ₁). Верхнее основание A ₁B ₁C ₁параллельно горизонтальной плоскости, т. е. его фронтальная проекция а? ₁b? ₁с? ₁параллельна оси х .

 

 

При рассмотрении призмы сверху (рис. 57) будет видно только верхнее основание призмы.

Горизонтальные проекции трех точек, которые лежат на нижнем основании, помещены в скобки с целью  показа, того, что точки А, В и С невидимы, если смотреть на призму из данного положения.

Для определения невидимых  элементов на фронтальной проекции обращаются к горизонтальной проекции.

Направление луча зрения показано на рисунке 58 стрелкой. Видно, что грань AA ₁C ₁С при таком угле зрения будет невидимой.

На рисунке 58 показана треугольная пирамида, которая находится на горизонтальной плоскости.

 

 

Гранями пирамиды являются треугольники, являющиеся частями плоскостей общего положения.

Если рассматривать пирамиду сверху, можно увидеть всю ее боковую  поверхность, т. е. для горизонтальной проекции не существует невидимых элементов.

Из рассуждений, подобных рассуждениям в случае призмы, можно  убедиться, что на фронтальной проекции невидима грань SAC (рис. 59).

 

3. Цилиндр и конус

 

Цилиндр – это фигура, поверхность которого получается вращением прямой m вокруг оси i , расположенной в одной плоскости с этой прямой. В случае, когда прямая m направлена параллельно оси вращения, получается цилиндр (рис. 60), когда она пересекает ось вращения, полученная фигура будет являться конусом (рис. 61).

 

 

Прямой круговой цилиндр  имеет образующие, направленные перпендикулярно  горизонтальной плоскости (рис. 61). По этой причине вне зависимости от выбора точки N на его поверхности горизонтальная проекция n этой точки находится на основании цилиндра.

 

 

Основание цилиндра составляет линию пересечения боковой поверхности  цилиндра с горизонтальной плоскостью, т. е. это горизонтальный след поверхности цилиндра. Следовательно, боковая поверхность прямого кругового цилиндра, который стоит на горизонтальной плоскости, рассматривается как горизонтально-проецирующая поверхность по отношению к любой линии, начерченной на его поверхности.

 

 

На рисунке 63 показаны проекции цилиндра.

Фронтальная проекция а?а? ₁, которая образует АА ₁, ограничивает слева фронтальную проекцию цилиндра, т. е. является ее контурной образующей. На профильной плоскости ее проекция а?а? ₁располагается на оси симметрии этой проекции. Профильная проекция d?d?₁образующей DD₁является контурной, а ее фронтальная проекция d?d?₁находится на оси симметрии и т. д.

Если мы посмотрим на цилиндр  сверху (рис. 63), увидим только его верхнее основание.

Рассмотрим горизонтальную проекцию. Если провести фронтальную  плоскость Р , разделяющую цилиндр на две равные части, можно заметить, что все точки, лежащие на передней половине цилиндра, будут видны при рассмотрении цилиндра спереди, т. е. на фронтальной проекции. Боковая поверхность цилиндра, которая расположена ниже следа P _h, видима на фронтальной проекции, а остальная его часть невидима, т. е. образующая CC ₁на фронтальной проекции невидима.

Для выделения невидимых  элементов на профильной проекции, необходимо обратиться к горизонтальной проекции. След Q _hпрофильной плоскости разделяет горизонтальную проекцию на две части. Боковая поверхность, которая расположена слева от Q _h, видима на профильной проекции и т. д. Таким образом образующая BB ₁невидима на профильной проекции.

На рисунке 64 показан прямой круговой конус, который стоит на горизонтальной плоскости.

 

 

Основание конуса и линия  пересечения поверхности конуса с любой горизонтальной плоскостью Р проецируются на горизонтальную плоскость  в виде окружности, а на фронтальную  плоскость – в виде отрезка, который  равен диаметру этой окружности.

Рассмотрим на рисунке 65 и  все проекции четырех образующих, ограничивающих какой-либо из контуров проекций.

 

 

Проекция a?s? образующей AS ограничивает контур на фронтальной проекции, а ее профильная проекция a?s? лежит на оси симметрии проекции (на образующей AS находится произвольная точка) и т. д.

При рассмотрении конуса сверху все точки боковой поверхности  видимы (рис. 65).

Для отыскания невидимых  элементов на фронтальной проекции проведем на горизонтальной проекции след P _hтой плоскости, которая разделяет конус на две части (видимую и невидимую), если смотреть на конус спереди, т. е. образующая SD в этом случае невидима.

Аналогично можно убедиться, что образующая SB невидима на профильной проекции.

3. Шар, тор и кольцо

 

Когда некоторая ось вращения I является диаметром окружности, то получается шаровая поверхность (рис. 66).

 

 

Если положение оси  другое, в плоскости окружности получается поверхность, называемая тором (рис. 67).

Когда ось вращения не пересекает окружность (рис. 68), то полученную в этом случае поверхность обычно называются кольцом (или кольцевой поверхностью).

Рассмотрим эти поверхности  отдельно.

Для того чтобы построить  контур проекции шара, необходимо провести все проецирующие лучи, которые касаются ее поверхности (рис. 69). Эти лучи образуют цилиндр, касающийся шара по большому кругу, плоскость которого Q перпендикулярна проецирующим лучам.

В случае, если плоскость  проекции перпендикулярна лучам  проекции, проекцией шара будет окружность, которая равна большому кругу шара. В других случаях проекция будет иметь форму эллипса.

Итак, прямоугольная проекция шара – круг, косоугольная проекция – эллипс.

Следовательно, проекции контура  шара на горизонтальных, фронтальных  и профильных плоскостях всегда являются окружностью.

 

 

Шаровую поверхность можно  получить вращением окружности около  ее диаметра. Пусть ось вращения I является перпендикулярной горизонтальной плоскости и становится одним из диаметров окружности. Окружность будет вращаться около оси I и описывать шаровую поверхность (рис. 66). Точки, которые лежат на этой исходной окружности (А, В, С и D ), при вращении ее вокруг оси I также опишут окружности, называемые параллелями. Параллели изображаются без искажения на горизонтальной плоскости, а на фронтальной плоскости – в виде отрезков, равных диаметрам (рис. 70).

 

 

Самая большая параллель  равна большому кругу шара. Она  называется его экватором. Проекции экватора показаны на рисунке 70 штриховой линией.

Разные положения вращающейся  вокруг оси I окружности выступают как  так называемые меридианы шара. Их изображают на горизонтальной плоскости  в форме диаметров окружности, которые представляют собой контуры  проекции шара. На фронтальной плоскости все меридианы, кроме двух, изображаются в виде эллипсов. Меридиан, находящийся во фронтальной плоскости, будет изображаться в виде контура на этой проекции и в виде вертикального диаметра на остальных проекциях. Подобным образом изображается меридиан, который расположен в профильной плоскости.

 

 

Точки пересечения поверхности  шара с осью вращения (Е и F , рис. 65) принято называть полюсами .

 

 

Любое из сечений шара плоскостью будет являться окружностью. Она  проецируется на данную плоскость проекций без искажения только тогда, когда  секущая плоскость параллельна  рассматриваемой плоскости горизонтальной проекции. На рисунке 71 показана фронтальная плоскость. Окружность, по которой эта плоскость пересекает поверхность шара, проецируется на фронтальную плоскость без искажения. На горизонтальной и профильной плоскостях эта окружность проектируется в форме отрезков, которые совпадают со следами P _hи P _wи двумя точками контуров горизонтальной и профильной проекций шара, заключенных между ними. Длины отрезков равны диаметру полученной окружности.

 

 

На рисунке 70 показаны семь горизонтальных плоскостей, которые  пересекают шар по горизонтально  расположенным окружностям. Данные окружности проецируются на горизонтальную плоскость в полную величину, а на фронтальную плоскость – в виде отрезков. Одна плоскость проходит через центр шара и делит его на две равные части. Верхняя половина шара является видимой при наблюдении сверху, а точки, находящиеся на нижней, невидимы.

 

 

Также проведены шесть  окружностей, представляющих собой  различные положения вращающейся  вокруг оси I окружности; одна из них является сечением шара фронтальной плоскостью. Эта фронтальная плоскость разделяет шар на две половины. Его передняя часть видна на фронтальной проекции. Еще одна окружность получена в результате сечения профильной плоскостью. Она также отделяет видимые точки шара от невидимых на профильной проекции. Остальные четыре окружности являются сечениями шара горизонтально-проецирующими плоскостями. Все эти четыре окружности имеют горизонтальные проекции в виде отрезков, равных диаметру шара, а фронтальные проекции – в виде эллипсов.

Тор – это поверхность, получаемая в результате вращения окружности около оси, которая лежит в ее плоскости, не проходящей через ее центр.

На рисунке 67 показаны окружность и ось вращения I , пересекающая окружность в двух точках (F и Е ).

Если вращать большую  часть FABCE окружности, то получается тор, показанный на рисунке 67.

Если вращать меньшую  дугу РВЕ окружности, то получается поверхность тора, которая напоминает по форме лимон (рис. 72).

 

 

Дуга полуокружности ABC (рис. 74) образует при вращении ту часть поверхности тора, которую принято называть наружной , а две небольшие дуги AF и СЕ – внутренней его поверхность.

 

 

Точка В при вращении описывает  самую большую окружность (ее можно  назвать экватором тора ). Эта окружность отделяет видимую часть поверхности тора от невидимой, если смотреть на тор сверху. Дуги окружности BAF или BF (рис. 75) описывают при вращении видимые части поверхности, а дуги ВСЕ или BE – невидимые.

При наблюдении тора спереди  вся его внутренняя поверхность  будет невидимой. Если провести фронтальную  плоскость через ось вращения I , то эта плоскость разделит наружную поверхность тора на переднюю видимую и заднюю невидимую.

Рассмотрим образования  кольца. В этом случае ось вращения I , несмотря на то что лежит в плоскости исходной окружности, ее не пересекает (рис. 73). Любая горизонтальная плоскость, перпендикулярная оси вращения, даст в сечении две окружности. На рисунке 74 проведена плоскость R, пересекающая кольцевую поверхность по двум окружностям (с радиусаи R и r ), т. е. по двум параллелям.