Автор: Пользователь скрыл имя, 30 Марта 2012 в 18:57, лекция
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.
Прямая ВС является параллельной горизонтальной плоскости, так как ее фронтальная проекция bс параллельна оси х , поэтому она параллельна своей горизонтальной проекции, т. е. справедливо выражение ВС || bс . Следовательно, прямая ВС перпендикулярна плоскости Q и поэтому перпендикулярна прямой АВ вне зависимости от ее положения в плоскости Q .
Через некоторую точку М можно провести огромное количество прямых, которые перпендикулярны данной прямой АВ . Они образуют целую плоскость Р , перпендикулярную АВ (рис. 34).
Из всех перпендикулярных прямых, которые при этом образуются, только одна пересекает данную прямую. Это прямая MN , которая проходит через точку N пересечения прямой АВ и плоскости Р .
Под перпендикуляром к прямой подразумевается прямая, не только перпендикулярная данной прямой, но и пересекающая в отличие от просто перпендикулярных скрещивающиеся прямые.
Прямой угол между скрещивающимися прямыми проецируется на данную плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости или лежит в ней.
Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции таких элементов плоскости, которые ее определяют.
На основании законов стереометрии плоскость определяется, когда известны принадлежащие ей:
1) три точки, не лежащие на одной прямой;
2) прямая и точка, не находящаяся на этой прямой;
3) две пересекающиеся прямые;
4) две параллельные прямые.
Итак, плоскость будет считаться заданной, если имеется на эпюре одна из перечисленных выше комбинаций элементов, определяющих данную плоскость (рис. 35 случаи 1, 2, 3, 4).
Все четыре способа задания плоскости равнозначны, так как легко имея одну комбинацию элементов, изображенную на рисунке 35 перейти к любой другой.
Если соединить одноименные проекции трех точек А, В и С , определяющих данную плоскость (рис. 35, случай 5), можно получить проекции треугольника ABC , лежащего в этой плоскости. Способ изображения плоскости в виде треугольника, не является принципиально новым, но обладает по сравнению с остальными четырьмя случаями большей наглядностью.
След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).
Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называют горизонтальным следом и обозначают P h, а линию пересечения с фронтальной плоскостью – фронтальным следом и обозначают Р v(рис. 37).
Иногда применяется и профильный след P w– линия пересечения данной плоскости с профильной плоскостью.
Точки, в которых пересекается плоскость Р с осями проекций, называют точками схода следов . Р х– точка схода следов на оси х, P у– на оси у , а Р z– на оси z (рис. 37). в точке Р пересекаются следы P hи P vи т. д.
Следы P hи P vплоскости Р являются прямыми, которые и лежат на горизонтальной и фронтальной плоскостях. Они имеют по одной из своих проекций, которые совпадают с осью х : горизонтальный след P h– фронтальную, а фронтальный P v– горизонтальную проекции.
Любую плоскость Р можно задать на эпюре с помощью указания положения двух ее следов – горизонтального и фронтального (рис. 38).
Следы P hи P vчаще всего изображаются парой пересекающихся или параллельных прямых и поэтому могут определять положение плоскости в пространстве.
Прямая принадлежит плоскости Р в том случае, если любые две ее точки лежат в данной плоскости.
Например, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости, то прямая лежит в этой плоскости (рис. 39).
Рассмотрим построение прямой, лежащей в данной плоскости Р .
Первый способ. Возьмем на следах P hи P vпо одной точке (рис. 40) и рассмотрим их как следы искомой прямой.
Рассматривая следы прямой, легко построить ее проекции.
Второй способ. Одну проекцию прямой, например горизонтальную 1, можно провести (рис. 40). Точки ее пересечения со следом P hи осью х определят горизонтальные проекции h и v следов искомой прямой. Если соединить прямой фронтальные проекции h? и v? следов, можно получить фронтальную проекцию 1?.
Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями и фронталями .
Горизонталь плоскости Р (рис. 41) – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости. Горизонталь как прямая, параллельная горизонтальной плоскости, имеет фронтальную проекцию г? , параллельную оси х .
Три прямые – горизонталь Г , ее горизонтальная проекция г и горизонтальный след P hплоскости Р – параллельны (рис. 42).
Действительно, горизонталь является прямой, параллельной горизонтальной плоскости, и поэтому не имеет горизонтального следа P h, лежащего с ней в одной плоскости. При этом горизонталь Г не может пересечь свою горизонтальную проекцию г . В противном случае в этой точке пересечения она встречала бы горизонтальную плоскость, что противоречит определению, т. е. все три прямые Г , г и P hпараллельны.
Любая из плоскостей имеет множество горизонталей. Все горизонтали этой плоскости параллельны друг другу вследствие того, что все они параллельны прямой P h.
Фронталь плоскости Р – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости (рис. 43).
Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекция ф параллельна оси х .
Фронталь Ф, ее фронтальная проекция ф? и фронтальный след Pvвзаимно параллельны. У каждой плоскости есть бесчисленное множество фронталей. Все фронтали данной плоскости параллельны, за исключением плоскости, параллельной фронтальной плоскости.
Если необходимо построить некоторую точку в данной плоскости Р , то нужно предварительно провести в этой плоскости одну из прямых и на ней взять искомую точку.
Если задача обратная, т. е. необходимо узнать, лежит ли данная точка в плоскости Р , то нужно провести через эту точку какую-нибудь прямую, лежащую в этой плоскости. Если такую прямую провести нельзя, то исследуемая точка М не лежит в плоскости Р .
Часто в качестве вспомогательной прямой применяют горизонталь или фронталь, хотя можно применять и прямые общего положения.
Покажем построение в плоскости Р произвольной точки (рис. 44).
Для выполнения задания необходимо провести любую горизонталь Г этой плоскости и на ней выбрать некоторую точку М . Данная точка принадлежит плоскости, следовательно, задача выполнена.
Рассмотрим построение следов плоскости Р , которая задана парой пересекающихся прямых I и II (рис. 45).
Если прямая находится на плоскости Р, то ее следы лежат на одноименных следах плоскости. Поэтому следы плоскости, которые необходимо найти, должны проходить через одноименные следы всех прямых, находящихся в этой плоскости, т. е. находим следы обеих прямых I и II. Соединив их горизонтальные следы h 1и h 2, можно получить горизонтальный след P hплоскости Р , а если соединить фронтальные v? 1, и v? 2, можно получить фронтальный след P v.
Оба следа P hи Р должны пересекаться на оси х в точке схода Р хили оказаться одновременно ей параллельными. Таким способом осуществляется проверка правильности построения, т. е. для построения следов плоскости возможно ограничиться нахождением любых трех следов двух прямых, определяющих плоскость.
Плоскостью общего положения называется плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций. Следы такой плоскости также не параллельны и не перпендикулярны осям проекций.
Проецирующие плоскости – это плоскости, которые перпендикулярны одной, и только одной, плоскости проекций.
На рисунке 46 показана горизонтально-проектирующая плоскость Р , которая перпендикулярна горизонтальной плоскости; на рисунке 47 – фронтально-проектирующая плоскость Q , которая перпендикулярна фронтальной плоскости, и на рисунке 48 – профильно-проектирующая плоскость R, которая перпендикулярна профильной плоскости.
Среди свойств проецирующих плоскостей можно выделить следующие.
1. На одну из плоскостей проекций, т. е. на ту, которой данная плоскость перпендикулярна, эта плоскость проецируется в виде прямой линии. В этом случае говорят о проекции плоскости, подразумевая под ней именно эту прямую. Горизонтальнопроектирующая плоскость Р имеет горизонтальную проекцию р (рис. 46), фронтально-проецирующая плоскость Q – фронтальную проекцию q? (рис. 47), а профильно-проецирующая R – профильную проекцию r? (рис. 48). Данные проекции совпадают с одноименными следами плоскостей, т. е. p = P h(рис. 46), q? = Q v(рис. 47) и r? = R w(рис. 48).
2. Любая фигура, которая лежит в проецирующей плоскости, проецируется в виде отрезка прямой на плоскость проекций, перпендикулярную данной плоскости, т. е. треугольник ABC, который лежит в плоскости Р (рис. 46), имеет горизонтальную проекцию abc на горизонтальной проекции плоскости Р (р = P h).
3. Фронтали горизонтально-проецирующей плоскости Р (рис. 47) перпендикулярны горизонтальной плоскости, а горизонтали фронтально-проектирующей плоскости Q (рис. 47) перпендикулярны фронтальной плоскости, т. е. перпендикулярность фронталей горизонтальной плоскости определяет горизонтально-проектирующую плоскость, а перпендикулярность горизонталей фронтальной плоскости является признаком фронтально-проектирующей плоскости. Профильно-проектирующая плоскость Р (рис. 47) имеет горизонтали, которые являются одновременно и фронталями; те и другие в этом случае перпендикулярны профильной плоскости.
4. Горизонтально-проектирующая плоскость Р параллельна оси z , поэтому ее следы Р vи P wтакже являются параллельными оси z . Фронтально-проектирующая плоскость Q параллельна оси у , поэтому Q hи Q wпараллельны оси у. Профильно-проектирующая плоскость R параллельна оси х, и ее следы R hи R vпараллельны оси х . Третьи следы этих плоскостей, а именно P h, Q vи R w, способны занимать любое положение относительно осей проекций в зависимости от углов наклона этих плоскостей к плоскостям проекций.
5. Проектирующие плоскости с плоскостями проекции образуют углы, размеры которых видны на эпюре. На рисунках 46, 47 и 48 обозначен буквой угол между проектирующей плоскостью и горизонтальной плоскостью, буквой – угол с фронтальной плоскостью и буквой – с профильной плоскостью. Важно, что для данных плоскостей один из этих углов обязательно прямой, а два остальных угла составляют в сумме 90°. Данные два угла на эпюре равны углам, которые образуются следами плоскости с осями проекций.
Рассмотрим плоскость, которая содержит ось х . Эта плоскость (рис. 49) принадлежит к числу профильно-проектирующих; она перпендикулярна профильной плоскости W , так как содержит ось х.
При этом горизонтальный и фронтальный следы R hи R vсливаются с осью х и не определяют положения плоскости R в пространстве. Для определения плоскости нужно дополнительно задать ее профильную проекцию r? (r? = R w) (рис. 49) или указать положение какой-либо точки А на этой плоскости (рис. 49).
Для двух плоскостей возможны
следующие варианты взаимного расположения:
они параллельны или
Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это условие называют признаком параллельности плоскостей .
Если две плоскости являются параллельными, то они пересекают какую-то третью плоскость по параллельным прямым. Исходя из этого у параллельных плоскостей Р и Q их следы являются параллельными прямыми (рис. 50).
В случае, когда две плоскости Р и Q параллельны оси х , их горизонтальные и фронтальные следы при произвольном взаимном расположении плоскостей будут параллельными оси х, т. е. взаимно параллельными. Следовательно, при таких условиях параллельность следов является достаточным признаком, характеризующим параллельность самих плоскостей. Для параллельности подобных плоскостей нужно убедиться в параллельности и профильных их следов P wи Q w. Плоскости Р и Q на рисунке 51 параллельны, а на рисунке 52 они не параллельны, несмотря на то что P v|| Q v, и P hу || Q h.
В случае, когда плоскости
параллельны, горизонтали одной
плоскости параллельны
Для того чтобы построить две плоскости, пересекающиеся между собой, необходимо найти прямую, по которой пересекаются две плоскости. Для построения этой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей.
Иногда, когда плоскость задана следами, найти данные точки легко с помощью эпюра и без дополнительных построений. Здесь известно направление определяемой прямой, и ее построение основывается на использовании одной точки на эпюре.
Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.
Информация о работе Конспект лекций по начертельной геометрии