Геометрия Лобачевского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия Лобачевского

 

 

Оглавление

 

Введение 

Глава I. История возникновения неевклидовой геометрии

1. V постулат Евклида, попытки его доказательства
2. Постулаты параллельности Евклида и Лобачевского

Глава II. Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия

2.2 Непротиворечивость  геометрии Лобачевского

2.3 Модели геометрии  Лобачевского

2.4 Дефект треугольника  и многоугольника

2.5 Абсолютная единица  длины в геометрии Лобачевского

2.6 Определение параллельной  прямой. Функция П(х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практическая часть

1. Сумма углов треугольника

2. Вопрос о существовании  подобных фигур

3. Основное свойство  параллелизма

4. Свойства функции  П(х)

Заключение. Выводы

Приложения

Список использованной литературы

 

 

Введение

 

Данная работа показывает сходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного из постулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетом достижений науки на тот момент.

Любая теория современной науки  считается верной, пока не создана  следующая. Это своеобразная аксиома развития науки. Этот факт многократно подтверждался.

Физика Ньютона переросла в  релятивисткую, а та - в квантовую. Теория флогистона стала химией. Такова судьба всех наук. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрия Евклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому разделу науки посвящена эта работа.

Цель данной работы: рассмотреть  отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Задачи данной работы: сравнить теоремы  геометрии Евклида с аналогичными теоремами геометрии Лобачевского;

посредством решения задач вывести  положения геометрии Лобачевского.

Выводы: 1. Геометрия Лобачевского построена на отказе от пятого постулата  Евклида.

2. В геометрии Лобачевского:

не существует подобных треугольников, которые не равны;

два треугольника равны, если их углы равны;

сумма углов треугольника не равна 180⁰, а меньше (сумма углов треугольника зависит от его размеров: чем больше площадь, тем сильнее отличается сумма от 180⁰; и наоборот, чем меньше площадь, тем ближе сумма его углов к 180⁰ );

через точку вне прямой можно  провести более одной прямой, параллельной данной.

Рекомендации: Я предлагаю использовать эту работу как дополнительную литературу в классах с углубленным изучением  математики.

 

 

Глава 1. История возникновения неевклидовой геометрии

 

1.1 V постулат Евклида, попытки его доказательства

 

Евклид – автор первого дошедшего  до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение на столько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет  с момента появления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

«Начала» состоят из 13 книг, посвященных  геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются  впервые. Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

V постулат Евклида гласит: и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Важнейшим недостатком  системы евклидовых аксиом, включая  и его постулаты, является ее неполнота, то есть недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено их последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегали в интуиции, к наглядности и «чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух торчках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем не возможно.

Но никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже в древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Сам Евклид и многие ученые пытались доказать постулат о параллельных. Одни старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату. Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением.

Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели  в конце концов к появлению  новой геометрии, отличающейся тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

И одной из предпосылок геометрических открытий Н.И Лобачевского (1792-1856) был  как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский  он был твердо уверен в объективном и не зависящим от человеческого сознания существовании материального мира и возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф.Бэкона: «оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь их одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии», являющимся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить».

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в  том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1830гг. дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию». Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

 

1.2 Постулаты параллельности Евклида и Лобачевского

 

Основным пунктом, откуда начинается разделение геометрии на обычную  евклидову (употребительную) и неевклидову (воображаемую геометрию или «пангеометрию») является, как известно, постулат о параллельных линиях.

В основе обычной геометрии лежит  предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Тот факт, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая эту прямую, относится к «абсолютной геометрии», т.е. может быть доказан без помощи постулата о параллельных линиях.

Прямая ВВ, проходящая через Р  под прямым углом к перпендикуляру РQ, опущенному на АА¹, не пересекает прямой АА¹; эта прямая в евклидовой геометрии называется параллельной к АА¹.

В противоположность постулату  Евклида, Лобачевский принимает  в основу построения теории параллельных линий следующую аксиому:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Отсюда непосредственно  вытекает существование бесконечно множества прямых, проходящих через одну и ту же точку и не пересекающих данную прямую. Пусть прямая СС¹ не пересекает АА¹; тогда все прямые, проходящие внутри двух вертикальных углов ВРС и В¹РС¹, также не пересекаются с прямой АА¹.

 

Глава 2. Геометрия Лобачевского.

 

2.1 Основные понятия

 

В мемуарах «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие  от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть >, как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть >. Остается предполагать эту сумму = или <. То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходит две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов».

 

 

 

 

 

 

 

Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда < и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньше. Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости

проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей  в этой плоскости; эти прямые делят  пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пересекающие прямые от расходящихся ( на рис. Условно изображены прямые r и r¹, проведенные через точку А параллельно прямой p, прямые q и q¹, проведенные через точку А и пересекающие прямую p, и прямые s и s^1, расходящиеся с прямой p ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой р, и перпендикуляром, опущенным из А на р, Лобачевский называет « углом параллельности» и показывает, что функция, выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде

 

П(а)=2arctg e^-a/q,          (1)

 

где q – некоторая постоянная. При а=0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится при а=0, постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше, и если - «угловой дефект» треугольника, то есть разность между и суммой его углов, то площадь треугольника S равна

 

S=q²,            (2)

 

где q – та же постоянная, что и в формуле (1).

Круг при стремлении его радиуса  к бесконечности переходит в  системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название «воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.