Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Декабря 2012 в 21:08, реферат
Определение 1. Аффинным преобразованием f: Ап+Ап n-мерного аффинного пространства Аn называется такое преобразование этого пространства, при котором каждая точка с координатами (x1, . . . , xn) в некоторой системе аффинных координат переходит в точку с численно равными координатами в некоторой, вообще говоря, другой системе аффинных координат. Возьмем в аффинном пространстве An какой-нибудь вектор u=M0M1.
Ортогональное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат записывается формулами
OM* = OO* + O*M* = OO* + xO*A* + yO*B*
При верхних знаках коэффициентов у y в этих формулах детерминант, составленный из коэффициентов, равен +1, а при нижних знаках он равен —1. Отсюда и из формулы (4) следует
Предложение 6. Ортогональное преобразование первого рода записывается в декартовой прямоугольной системе координат формулами
OM* = OO* + O*M* = OO* + xO*A* + yO*B*
с верхними знаками у коэффициентов при y, а ортогональное преобразование второго рода — с нижними знаками.
Разложение аффинного преобразования.
Насколько аффинное преобразование может изменить плоскость: окружность может перейти в эллипс, правильный треугольник — в совершенно произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохраниться не могут. Однако имеет место следующее.
Предложение 7. Для каждого аффинного преобразования существуют две взаимно перпендикулярные прямые, которые переходят во взаимно перпендикулярные прямые.
Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность. При данном аффинном преобразовании она перейдет в эллипс. Каждая ось эллипса — множество середин хорд, параллельных другой оси. При аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, параллельность должна сохраниться, а середина отрезка переходит в середину его образа. Поэтому прообразы осей эллипса — отрезки, обладающие тем же свойством: каждый из них есть множество середин хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие отрезки непременно являются двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружности. Это то, что нам требовалось: существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности, которые переходят во взаимно перпендикулярные отрезки — оси эллипса.
Стоит отметить один особый случай: окружность
при аффинном преобразовании может
перейти в окружность. В этом случае
то же рассуждение проходит с любыми
двумя взаимно
Определение. Два взаимно перпендикулярных направления называются главными или синугулярными направлениями аффинного преобразования f, если они переходят во взаимно перпендикулярные направления.
Теорема 2. Каждое аффинное преобразование раскладывается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Рассмотрим аффинное преобразование f и выберем равнобедренный прямоугольный треугольник ABC так, чтобы его катеты AB и AC были направлены вдоль главных направлений преобразования f. Обозначим через A*, B* и C* образы его вершин. Сделаем такое ортогональное преобразование g, при котором g(A) = A*, а точки g(B) и g(C) лежат соответственно на лучах A*B* и A*C*. (Этого легко добиться, как и в теореме 1, параллельным переносом, поворотом и осевой симметрией.)
Пусть . Тогда сжатие p1 к прямой A*C* в отношении λ переведет g(B) в p1(g(B)) = B* и не сдвинет точек A* и g(С). Аналогично, сжатие p2 к прямой A*B* переведет g(C) в p2(g(C)) = C* и не сдвинет точек прямой A*B*.
Это означает, что произведение p1p2g переводит точки A, B и C в точки A*, B* и C* так же, как и заданное нам преобразование f. Согласно
предложению: каковы бы ни были три точки L, M, N, не лежащие на одной прямой, и три точки L*, M*, N*, существует единственное линейной преобразование f такое, что L*=f(L), M*=f(M), N*=f(N). Это преобразование аффинное тогда и только тогда, когда точки L*, M*, N* также не лежат на одной прямой…
…имеем p1p2g = f, как и требовалось.