Аффинные преобразования

Аффинные преобразования

Определение 1. Аффинным преобразованием f: А^п+А^п n-мерного аффинного пространства Аⁿ называется такое преобразование  этого пространства, при котором каждая точка с координатами (x₁, . . . , x_n) в некоторой системе аффинных координат переходит в точку с численно равными  координатами в некоторой, вообще говоря, другой системе аффинных координат. Возьмем в аффинном пространстве Aⁿ какой-нибудь вектор u=M₀M₁.

При аффинном преобразовании точки М₀ , М₁ переходят соответственно в точки М’₀ , М’₁  имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки М„, М_г имели относительно старого. Следовательно, при аффинном преобразовании пространства Аⁿ вектор u переходит в вектор u', имеющий относительно нового репера те же координаты, которые вектор и имел относительно старого репера. Отсюда в свою очередь получаем, что при аффинном преобразовании равным векторам соответствуют равные, так что аффинное преобразование аффинного пространства порождает преобразование  линейного пространства трансляций.

Это преобразование линейно, т.е.

 

(доказывается  переходом к координатам). Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из сказанного выше следует, что при аффинном преобразовании сохраняется линейная зависимость векторов.

Далее, обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.  Действительно, если данное аффинное преобразование f: А^п+А^п задается переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера О’е₁’,..е_n’ к реперу Ое₁,..е_n является, как легко видеть, преобразованием, обратным к f.

При аффинном преобразовании f каждая линейно независимая система векторов u₁, ..., u_k переходит в линейно независимую — в противном случае при аффинном преобразовании f^-1, обратном к f, линейно зависимая  система u’₁, ..., u’_k перешла бы в линейно независимую, что, как мы  знаем, невозможно.

Из определения аффинного  преобразования следует, что при  данном аффинном преобразовании, определенном переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ , множество всех точек, координаты которых в координатном репере Ое₁,..е_n удовлетворяют некоторой системе уравнений, переходит в множество точек, координаты которых в системе О’е₁’,..е_n’ удовлетворяют той же системе уравнений. В частности, при аффинных преобразованиях m-мерные плоскости (1≤m≤n) переходят в m-мерные плоскости. При этом сохраняется параллельность.

Пусть аффинное преобразование аффинного пространства задается переходом от репера Ое₁,..е_n к реперу О’е₁’,..е_n’ . Предположим, что векторы е₁’,..е_n’ заданы своими координатами относительно старого репера

 

 

причем  , а координаты точки О’ относительно старого репера суть (а₁, ..., а_n). Тогда координаты (x₁, . . . , x_n) любой точки М относительно старого репера связаны с координатами той же точки М относительно нового репера соотношениями

 

  (1)

 

Нам даны: произвольная точка М с координатами (x₁, . . . , x_n) относительно старого репера и ее образ М', имеющий относительно нового репера те же координаты (x₁, . . . , x_n) которые точка М имела относительно старого репера. Требуется найти координаты точки М' относительно старого репера. Решение этой задачи дается формулами (1), в которые вместо нужно подставить координаты точки М' в новой системе, т. е. (x₁, . . . , x_n). Тогда в левой части (1) получим искомые координаты (x’₁, . . . , x’_n) точки М' в старой системе, т.е.

 

  (2)

 

Формулы (2) выражают координаты  точки М' — образа точки М при аффинном преобразовании — через координаты точки М (те и другие координаты берутся при этом относительно одного и того же «старого» репера).

Обозначим через x, x’ и а соответственно столбцы координат точек М, М' и О' относительно репера Се₁...е_n, и пусть С=||c_jk ||. Тогда формулы (2) можно переписать в матричном виде

 

   (3)

С — невырожденная матрица. Если аффинное преобразование f  задано в виде (3), то обратное к нему аффинное преобразование f^-1 записывается, как

 

   (4)

Частными  случаями аффинных преобразований (3) являются преобразования

 

    (5)

переводящие в себя начало координат  О и называемые центроаффинными  преобразованиями с центром О, а также преобразования

 

   (6)

называемые переносами или трансляциями. Каждому центроаффинному преобразованию взаимно однозначно соответствует линейный оператор А с матрицей А, называемый оператором центроаффинного преобразования, а каждому переносу взаимно однозначно соответствует вектор а, называемый вектором переноса. Центроаффинные преобразования образуют группу относительно композиции преобразований. Действительно, пусть х' = Ах и     х" = Вх' — два центроаффинных преобразования. Тогда их композиция имеет вид

 

 

т. е. снова  является центроаффинным преобразованием. Тождественнее преобразование, очевидно, является центроаффинным преобразованием. Обратным преобразованием для центроаффинного преобразования (5) является центроаффинное преобразование

 

 

Очевидно, что  группа центроаффинных преобразований изоморфна 
группе обратимых операторов n-мерного линейного пространства.

Переносы также образуют группу относительно композиции, 
изоморфную группе векторов n-мерного линейного пространства

по сложению. Действительно, композиция переносов  x’= x + a и 
x’= x + b имеет вид х' = х + (а + b), т. е. является переносом с вектором (a+b) Тождественное преобразование есть перенос на нулевой вектор а=0, а обратным к переносу x’= x + a служит перенос x’= x – a.

Композиция   двух   аффинных   преобразований  х' = Aх + a и х' = Вх + b также является аффинным преобразованием

 

 

Композиция  аффинных преобразований, очевидно, ассоциативна. Как было ранее установлено, обратное преобразование для аффинного преобразования также есть аффинное преобразование. Поэтому аффинные преобразования образуют группу относительно композиции; группы центроаффинных преобразований и переносов, очевидно, являются подгруппами этой группы.

 Теорема 1 . Для однозначного задания аффинного преобразования n-мерном аффинном пространстве достаточно указать, а какие точки переходят n + 1 точек, не лежащих в одной гиперплоскости.

Доказательство. Пусть f: А^п+А^п — некоторое аффинное преобразование. Выберем n + 1 точек M ₀ , M₁ , ... , M_n лежащих в одной гиперплоскости. Обозначим через N _k = f (M _k) образы точек M_k , k=0, 1, ..., n. Свяжем с точками (M ₀ , M₁ , ... , M_n)  и (N ₀ , N₁ , ... , N_n) аффинные реперы, приняв точки M ₀ и N ₀ за начала О и О', а векторы M ₀ M_k и N ₀ N_k — за базисные векторы e_k  и e’_k  Векторы e₁, ..., e_n  линейно независимы. Действительно, если бы векторы e₁, ..., e_n  удовлетворяли нетривиальному соотношению

 

 

то координаты точек (M ₀ , M₁ , ... , M_n) были бы связаны линейным уравнением, т.е. точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) лежали бы в некоторой гиперплоскости. Таким образом, мы построили два аффинных репера Ое₁,..е_n и О’е₁’,..е_n’. Эти реперы определяют аффинное преобразование, которое переводит точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) в точки (N ₀ , N₁ , ... , N_n). Точки M ₀ и N ₀ имеют в обеих системах одинаковые координаты x_i = 0, i=1,...n. Точки M _k, и N _k имеют в обеих системах одинаковые координаты x_i = δ_ik, i=1,...n. Это преобразование является единственным аффинным преобразованием, переводящим точки (M ₀ , M₁ , ... , M_n) в точки (N ₀ , N₁ , ... , N_n) поскольку построенные выше аффинные реперы являются единственными реперами, в которых эти точки имеют указанные координаты, а аффинное преобразование, определяемое двумя реперами, также единственно. Следовательно, построенное нами преобразование совпадает с исходным преобразованием f. Теорема доказана.

 

Все аффинные преобразования можно разделить на два класса. Аффинные преобразования, матрицы которых имеют положительные детерминанты, называются аффинными преобразованиями первого рода. Аффинные преобразования, матрицы которых имеют отрицательные детерминанты, называются аффинными преобразованиями второго рода. Так как оператор переноса — единичный оператор Е, то переносы являются аффинными преобразованиями первого рода.

 

Аффинные  преобразования первого рода образуют подгруппу в группе всех аффинных преобразований.

Пусть точка М₀ n-мерного аффинного пространства Aⁿ с координатами x⁰=(x⁰₁,...,x⁰_n) остается неподвижной при аффинном преобразовании x’ = Cx + a. Тогда координаты x⁰ точки М₀ удовлетворяют соотношениям

 

 

или

 

Отсюда следует, что если

 

   (7)

Таким образом, мы установили, что аффинное преобразование, для которого матрица (Е — С) обратима, имеет единственную неподвижную точку. Если же det(Е — С) = 0, то аффинное преобразование может иметь много неподвижных точек или не иметь ни одной неподвижной точки — таким примером является перенос, для которого Е — А=0.

Аффинное преобразование, имеющее  в координатной записи вид

 

   (8)

 

называется гомотетией с центром в точке М с координатами а. Два множества в аффинном пространстве, переводимые друг в друга гомотетией, называются гомотетичными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Движения  аффинного евклидова пространства.

 

Предположим   теперь,   что   рассматриваемые   нами   аффинные пространства снабжены евклидовыми метриками.

Определение   2.  Движением аффинного евклидова пространства,  называется такое преобразование   этого   пространства, при котором не изменяются расстояния между точками.

Теорема 2. Движение аффинного евклидова пространства, в координатах, записывается в виде

 

   (1)

 

где C — ортогональная матрица.

Доказательство.    В основе доказательства лежит следующая

Лемма. Пусть и — два вектора, приложенных к одной и той же точке, а , — их образы при данном движении. Тогда скалярные произведения и равны.

Доказательство   леммы. Имеем . Поэтому

 

 

т.е.

 

 

Поскольку и , то

 

  (2)

 

Формула   (2)   верна   для   любых  трех  точек  O,   A,   B,  так   что имеем

 

 (2’)

 

Правые  части   равенств  (2)  и  (2')  равны, так как движение сохраняет расстояния. Поэтому равны и левые части, т.е.

 

,   (3)

что и требовалось доказать.

Пусть теперь Ое₁,..е_n где e_k = OM_k  k= 1 , . . . , n — какой-нибудь ортонормальный репер. При нашем движении точка O переходит в O’, а единичные векторы e_k = OM_k  — соответственно в единичные векторы e’_k = O’M’_k .  Так как векторы e_k попарно ортогональны, то по лемме секторы e’_k, также ортогональны. Следовательно наше движение переводит ортонормальный репер Ое₁,..е_n в ортонормальный репер О’е₁’,..е_n’ . Координаты (x₁, . . . , x_n) любой точки P в координатной системе Ое₁,..е_n суть скалярные произведения

 

 

Координаты  образа  P’ точки  P в системе О’е₁’,..е_n’ суть скалярные произведения

 

 

Поэтому в силу леммы  x’_k  = x_k  т.е.  точка P’— образ точки P при данном движении имеет в новой координатной ортогональной системе те же координаты, которые точка P имела в старой. Опираясь на предыдущие рассуждения, получаем, что движение задается формулой

 

   (4)

 

где С — невырожденная матрица. Поскольку линейный оператор, соответствующий  матрице С, переводит ортонормальный  базис {е₁,..е_n } в ортонормальный базис {е₁’,..е_n’} , С — ортогональная матрица. Теорема доказана.

 

Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекает новое определение движения. Движение — это такое преобразование аффинного евклидова пространства, при котором каждая точка с координатами (x₁, . . . , x_n) в некотором ортонормалыюм репере переходит в точку с численно равными координатами в некотором новом ортонормальном репере. Следовательно, движение является аффинным преобразованием.  Если при некотором движении множество X переходит в множество Y, то множество Y переходит в множество X при обратном движении и в этом случае множества X и Y называются конгруэнтными множествами.

 

Важным примером движения в аффинном евклидовом пространстве E является отражение от данной m-мерной плоскости .

Отражением от плоскости  π^m называется преобразование пространства E, ставящее в соответствие произвольной точке M E такую точку M’ E , что прямая MM’ пересекает плоскость π^m под прямым углом и точка пересечения прямой MM’ и плоскости π^m является серединой отрезка MM’. Отражение от фиксированной плоскости π^m сохраняет расстояние между точками, т. е. является движением. Частным случаем отражения от m-мерной плоскости является отражение от точки, т. е. от нульмерной плоскости.   Следовательно, отражение от фиксированной точки P — это преобразование аффинного евклидова пространства, ставящее в соответствие произвольной точке M такую точку M’, что точка P лежит на прямой MM’ и делит пополам отрезок MM’.