Аффинные преобразования

Частными случаями движений (1) являются движения

 

   (5)

 

переводящие в себя начало координат  и называемые вращениями вокруг точки O, а также переносы

 

 

Вращения образуют группу относительно композиции, изоморфную группе ортогональных операторов. Действительно, композиция вращений x’ = C₁x и   x’=C₂x  имеет вид x’ = (C₂ C₁)x, т. е. является вращением с матрицей С₂ С₁.

Тождественное преобразование, очевидно, является вращением, обратным преобразованием для вращения (5) является вращение

 

  (6)

 

Группа вращений аффинного евклидова пространства является подгруппой группы центроаффинных преобразований.

Выше доказано, что аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства образуют группу относительно композиции. Совершенно аналогично показывается, что множество движений n-мерного аффинного евклидова пространства является группой относительно композиции. Эта группа является подгруппой группы аффинных преобразований; группы вращений и переносов, очевидно, являются подгруппами группы движений.

Так как движение является частным случаем аффинного преобразования, для задания движения достаточно указать, в какие точки переходят n+1 точек                 n-мерного аффинного пространства, не лежащих в одной гиперплоскости. Эти системы точек должны быть конгруэнтны, т.е. если движение задается точками (M₁,M₂, ..., M_n+1) и (M’₁,M’₂, ..., M’_n+1) то должны выполняться следующие равенства:

 

 

Аналогично аффинным преобразованиям  все движения аффинного евклидова пространства делятся на два класса: движения первого рода и движения второго рода. Так же, как для аффинных преобразований, показывается, что движения первого рода и их частный случай — вращения первого рода — образуют группы относительно композиции.

 

Геометрические  свойства аффинных преобразований

 

Образ прямой линии.

Здесь будут рассмотрены геометрические свойства аффинных преобразований. Ниже f обозначает аффинное преобразование, записываемое в декартовой системе координат Ое₁,..е_n формулами

 

  (1)

 

при условии

 

   (2)

 

Рассмотрим на плоскости прямую линию с уравнением r = r₀ + at и найдем ее образ при преобразовании f. (Под образом прямой понимается множество образов ее точек.) Радиус-вектор образа M* произвольной точки M можно вычислить так:

 

 

Здесь с — постоянный вектор , а r — радиус-вектор точки M. Согласно

f(a+b) = f(a) + f(b) и f(χa) = χf(a) мы получаем

 

  (3)

 

Так как f — аффинное преобразование и , то а перейдет в вектор , и уравнение (3) является уравнением прямой линии. |Итак, образы всех точек прямой r = r₀ + at лежат на прямой (3). Более того, преобразование f определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую, так как при сделанном здесь выборе начальных точек и направляющих векторов точка М* имеет на прямой (3) то же значение параметра t, что и точка M на исходной прямой. Отсюда мы получаем

Предложение 1. При аффинном преобразовании:

• прямая линия переходит в прямую линию;
• отрезок переходит в отрезок;
• параллельные прямые переходят в параллельные.

Для доказательства второго утверждения  достаточно заметить, что отрезок  прямой состоит из таких точек, у которых значения параметра удовлетворяют неравенству вида . Третье утверждение следует из того, что при аффинном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные.

Предложение 2. При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Доказательство. Пусть отрезки AB и CD параллельны. Это значит, что существует такое число , что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда вытекает, что

 

 

Следствие. Если точка C делит отрезок AB в некотором отношении , то ее образ C* делит образ A* B* отрезка AB в том же отношении .

 

Изменение площадей при  аффинном преобразовании

Для начала рассмотрим ориентированный  параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат Ое₁,..е_n и обозначим через (p₁, p₂) и (q₁, q₂) компоненты векторов p и q, на которых он построен. Площадь параллелограмма мы можем вычислить

 

 

Пусть аффинное преобразование f записывается в выбранной системе координат формулами (1). Векторы f(p) и f(q) имеют в базисе f(e₁), f(e₂) те же компоненты (p₁, p₂) и (q₁, q₂), что и векторы p и q в базисе e₁, e₂. Образ параллелограмма построен на векторах f(p) и f(q), и площадь его равна

 

 

Вычислим последний множитель. Координаты векторов f(e₁) и f(e₂) равны соответственно (a₁, a₂) и (b₁, b₂).

Поэтому и

 

 

Отсюда мы видим, что

 

  (4)

 

Таким образом, отношение площади  образа ориентированного параллелограмма к площади этого параллелограмма одинаково для всех параллелограммов и равно a₁b₂ – a₂b₁.

Отсюда следует, что данный детерминант не зависит от выбора системы координат, в которой записано преобразование, хотя он вычисляется по коэффициентам, зависящим от системы координат. Эта величина — инвариант, выражающий геометрическое свойство преобразования.

Из формулы (4) видно, что отношение площади образа неориентированного параллелограмма к его площади равно

 

 

Если a₁b₂ – a₂b₁> 0, то ориентации всех ориентированных параллелограммов сохраняются при преобразовании, а если a₁b₂ – a₂b₁< 0, то для каждого ориентированного параллелограмма ориентация образа противоположна его ориентации.

Займемся теперь площадями других фигур. Каждый треугольник может  быть дополнен до параллелограмма, площадь  которого равна удвоенной площади  треугольника. Поэтому отношение  площади образа треугольника к площади этого треугольника удовлетворяет равенству (5).

Каждый многоугольник может  быть разбит на треугольники. Следовательно, формула (5) справедлива и для произвольных многоугольников

Мы не будем здесь касаться определения  площади произвольной криволинейной фигуры. Скажем лишь, что в тех случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу площадей некоторой последовательности многоугольников, вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории пределов известно следующее предположение: если последовательность S_n стремится к пределу S, то последовательность δS_n, где δ постоянное, стремится к пределу δS. На основании этого предложения мы заключаем, что формула (5) справедлива в самом общем случае.

В качестве примера найдем выражение площади эллипса через его полуоси. Существует доказательство того, что эллипс с полуосями a и b может быть получен сжатием окружности радиуса a к прямой, проходящей через ее центр. Коэффициент сжатия равен b/a. Координатную запись сжатия к прямой x* = x, y* = y. Детерминант из коэффициентов в этих формулах равен , т. е. в нашем случае b/a. Таким образом, отношение площади эллипса к площади круга равно b/a, и эта площадь равна . Окончательно имеем

 

 

 

Образы линий второго  порядка.

Мы видели, что прямая линия переходит в прямую. Это частный случай следующего предложения.

Предложение 3. Аффинное преобразование переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того же порядка.

В самом деле, пусть линия L в декартовой системе координат Ое₁,..е_n имеет алгебраическое уравнение порядка p. Образы всех точек линии L при аффинном преобразовании f имеют в системе координат f(O), f(e₁), f(e₂) те же координаты, что и их прообразы в системе координат Ое₁,..е_n. Следовательно, координаты образов в системе f(O), f(e₁), f(e₂) связаны тем же алгебраическим уравнением порядка p. Этого достаточно, чтобы сделать нужное нам заключение.

Из предложения 3, в частности, следует, что линия второго порядка при аффинном преобразовании перейдет в линию второго порядка. Мы докажем более сильное утверждение. Мы увидим, что класс линии сохраняется при аффинном преобразовании. На этом основании классы линий, перечисленные в указанной теореме, называются аффинными классами. Итак, докажем

Предложение 4. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса

Доказательство. Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — в неограниченную.

1) Эллипс — ограниченная  линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс.

2) Гипербола состоит из двух  отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды.

Из всех линий второго порядка  только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу.

3) Парабола — неограниченная  линия второго порядка, состоящая  из одного непрямолинейного куска.  Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу.

4) Если линия второго порядка  представляет собой точку (пару  мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта линия не может перейти в линию никакого другого класса.

Докажем вторую часть предложения. Канонические уравнения линий второго  порядка можно записать в декартовой   прямоугольной системе координат и и они будут содержать параметры a, b,... Если мы откажемся от нормировки базисных векторов, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат x’=x/a, y’= y/b переводит уравнение эллипса x²/a² + y²/b² = 1 в уравнение x’² + y’² = 1, каковы бы ни были a и b. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)

Канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:

1) x² + y² = 1;    2) x² + y² = 0;    3) x² – y² = 1;    4) x² – y² = 0

5) y² = 2x;    6) y² - 1 = 0;     7) y² = 0.

Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.

Аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство.

 

 

Разложение ортогонального преобразования.

Теорема 1. Каждое ортогональное преобразование раскладывается в произведение параллельного переноса, поворота и, возможно, осевой симметрии

Доказательство. Пусть f — ортогональное преобразование и ∆ABC— равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом A. При преобразовании f он перейдет в равный ему треугольник ∆A*B*C * с прямым углом при вершине A*. Теорема будет доказана, если, производя последовательно параллельный перенос p, поворот q и (в случае необходимости) осевую симметрию r, мы сможем совместить треугольники ABC и A*B*C*.

Действительно, произведение rqp — аффинное преобразование так же, как и f, а аффинное преобразование однозначно определяется образами трех точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому rqp совпадает с f.

Итак, переведем A и A* параллельным переносом p на вектор AA* (если A — A*, то p — тождественное преобразование). Затем поворотом я вокруг точки A* совместим p(B) с B* (возможно, и это преобразование окажется тождественным). Точка q(p(C)) либо совпадает с C*, либо симметрична ей относительно прямой A*B*. В первом случае цель уже достигнута, а во втором потребуется осевая симметрия относительно указанной прямой. Теорема доказана.

Следует иметь в виду, что полученное разложение ортогонального преобразования не однозначно. Более того, можно поворот или параллельный перенос разложить в произведение осевых симметрии, произведение параллельного переноса и поворота представить как один поворот и т. д. Мы не будем уточнять, как это сделать, а выясним следующее общее свойство всех таких разложений.

Предложение 5. При любом разложении ортогонального преобразования в произведение любого числа параллельных переносов, поворотов и осевых симметрии четность числа осевых симметрии, входящих в разложение, одна и та же.

Для доказательства рассмотрим на плоскости произвольный базис и проследим за изменением его ориентации (направления кратчайшего поворота от e₁ к e₂) при осуществляемых преобразованиях. Заметим, что поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его разложение должно входить нечетное число осевых симметрий. Если же ориентация базиса не меняется, то число осевых симметрий, входящих в разложение, может быть только четным.

Определение. Ортогональные преобразования, которые могут быть разложены в произведение параллельного переноса и поворота, называются ортогональными преобразованиями первого рода, а остальные — ортогональными преобразованиями второго рода.