Применение оптимизационных методов к решению задач

         

    На  рис 4 изображён фрагмент сети, из которого ясно, что в событие 4 входят работы а, б, в. Это, однако, не означает, что все работы заканчиваются одновременно. Важно лишь, что работа г начинается после завершения работ а, б, в.

       РИС 4.

       

       

       

       

         
 
 

    Если  свершением какого-либо события начинается несколько работ, то это изображается так, как показано на рис 5.

     РИС 5 
 
 
 
 

    Если  в этом случае для начала какой-либо работы, например а, не надо ждать свершения события 7 и можно ограничиться промежуточным результатом, то его представляют в виде самостоятельного события и работа а должна начаться с него (рис 6). 
 
 
 

       РИС 6.

       

         
 
 

       Если  для начала работы д надо знать результат только работ б и в, а результат работы а не требуется ( рис 7, а; неправильное изображение), то необходимо ввести дополнительное событие и фиктивную работу (рис 7, б; правильное изображение).

        РИС 7.

         
 

         

         

       На  сети желательно соблюдать чёткую последовательность в нумерации событий от исходного  к завершающему. Это упрощает и  ускоряет анализ сети на ЭВМ.

       Сетевые графики позволяют решать оптимизационные  задачи, возникающие, например, в случае необходимости перераспределения выделенных средств на выполнение работ с целью максимального сокращения времени выполнения всего комплекса работ. Возможна и другая задача: какие дополнительные средства и в какие работы следует вложить, чтобы общий срок выполнения комплекса не превышал заданный, а дополнительные средства минимизировались.  

 

1.5 Теория и методы управления запасами

   Общая постановка задачи 

      Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую  продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представленных временно на используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.

      Запасы  создаются по различным причинам. Одна из них состоит в том, что  если в некоторый момент производства потребуется какой-то вид деталей, который поставляется другим предприятием, и он отсутствует на складе, то процесс производства может остановиться. Поэтому на складе всегда должно быть нужное количество деталей данного вида. Однако если запасы увеличить, то возрастет стоимость их хранения. Задача управления запасами  состоит в выборе для предприятия целесообразного решения.

      Существуют  несколько видов моделей  управления запасами:

• основная модель управления запасами;
• модель производственных запасов;
• модель производственных запасов с учетом штрафов.

      Любая математическая модель, которая применяется  для изучения определенной ситуации в управлении запасами, должна учитывать  факторы, связанные с издержками.

      В системах управления запасами основной вопрос - состав и размер издержек управления.

      Рассматриваемые в модели величины, их обозначения, а также принятые относительно этих величин допущения, сведены в табл. 1.

      Рассмотрим  издержки С, связанные с запасами, которые могут быть объяснены независимо друг от друга:

      • организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимых для каждого цикла складирования. Эти затраты связаны с подготовительно-заключительными операциями при поступлении товаров и подаче заявок;

      • издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением и амортизацией в процессе хранения (товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.);

      • издержки, обусловленные дефицитом, - дополнительные издержки, связанные с отказом, в случае если поставка с ТК не может быть выполнена (это допускается в моделях с дефицитом товара).

      Таблица 1

      Уравнение издержек, связанных с запасами, сделанными в течение года, может быть записано следующим образом:

      C= hq/2 + cd + sd/q 

      Основная  модель управления запасами (Модель управления запасами Харриса)

      Под Q понимается однородный товар. При необходимости рассматривается непрерывное расходование запасов и непрерывное их поступление. Необходимо сделать несколько замечаний по поводу свойств функции изменения запасов:

• если на товарный комплекс поступает заявка, то товар отпускается и значение Q снижается;
• если Q = 0, имеет место дефицит;

      если  на ТК поступает товар, значение Q увеличивается.

        График изменения запасов согласно модели Харриса выглядит следующим образом (рис.4): 

       Рис. 4 График изменения запасов по модели Харриса 

      Независимо  от того, какого рода систему управления запасами имеет товарный комплекс, управляющий орган может принять  следующие решения:

• какое количество товара в среднем должно находиться в запасе (Q_ср);
• в какое время производить пополнение запаса (Т);
• каков размер партии поставки (пополнения запаса q).

 

      Модель  производственных запасов

      В основной модели предполагали, что  поступление товаров на слад происходит мнгновенно, например, в течение  одного дня. Рассмотрим случай, когда  готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем считать, что поступление товаров происходит непрерывно. Модель задачи в этом случае называют моделью производственных поставок. Обозначим через p скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за год. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами.

      Определим оптимальный размер партии, минимизирующий общие затраты.

      График  изменения модели производственных запасов представлен на рисунке 5.

        Общие издержки в течение года, как и для основной модели, составляют:

      C = C₁ + C₂ + C₃,

      C₁ = bg/q,

      C₂ = Sg.

      Для пополнения следующего уровня запасов  следует учесть, что RT = (p-g)t  - максимальный уровень запасов.

      q = pt – количество товаров в одной поставке.

        

      Рис. 5 График изменения модели производственных запасов предприятия. 

      Тогда средний уровень запасов составляет половину максимального и равен

      (p-g)q/2p.

      В итоге dc/dq = 0 найдем оптимальный размер партии производственных поставок:

      

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      2. Практическое применение  моделей управления  запасами 

      Рассмотрим  задачу с применением модели производственных поставок. 

      ПРИМЕР. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой видеомагнитофонов  составляет 2000 штук в год. Организационные  издержки равны 20 000 руб. Цена видеомагнитофона составляет 1000руб., издержки хранения равны 0,1 тыс. руб. в расчете на один видеомагнитофон в год. Запасы на складе пополняются со скоростью 4000 видеомагнитофонов в год. Производственная линия начинает действовать как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено q видеомагнитофонов.

      Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течении  которого продолжается поставка, продолжительность  цикла, максимальный уровень запасов  и средний уровень запасов  при условии, что размер поставки оптимален. 

      РЕШЕНИЕ. Данная модель задачи является моделью  производственных поставок со следующими параметрами:

      q = 2000, b<20, h = 0,1, S = 1, p = 4000.

      График  изменения запасов представлен  на рисунке 6:

      

      Рис. 6 График изменения запасов предприятия. 

      Число партий в течение года:

      n= g/q = 2000/q.

      Продолжительность поставки:

      t=q/p = q/2000.

      Продолжительность цикла:

      L = 1/n = q/g = q/2000.

      Максимальный  уровень запасов:

      RT = (p-g)t= 2000*q/4000=q/2.

      Средний уровень запасов:

      RT/2=q/4.

      Уравнение издержек:

      C = C₁ + C₂ + C₃ = bn + sg + qh/4.

      Решив уравнение dc/dq=0, получим

      

=1265 видеомагнитофонов.

      найдем  оптимальные значения поставок, продолжительность  поставки, продолжительность цикла:

      n_опт = 2000/1265 ≈ 1,6 поставки,

      t_опт = 1265/4000 ≈ 115 дней,

      L_опт = 365/1,6 ≈ 230 дней.