Применение оптимизационных методов к решению задач

Введение 

    Предметом исследования математического программирования являются математические модели, связанные  в большинстве случаев с определенными  экономическими процессами, описывающими экономику предприятия, промышленного  объединения, отрасли народного  хозяйства, наконец, всего народного хозяйства или отдельных экономических процессов в них.

    Математическое  программирование  - это область  математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных  экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. В отличие от классической теории экстремальных задач, которая является частью  математического программирования, основное внимание в математическом программировании уделяется тем задачам, в которых активно участвуют ограничения на область изменения переменных.

    Из  сказанного можно сделать вывод, что математическое моделирование  экономических процессов и явлений  является наиболее совершенным и  вместе с тем наиболее эффективным методом исследования, ибо в этом случае появляется возможность широкого использования современных средств математического анализа.

    Цель  исследования состоит в раскрытии сущности основных методов математического программирования, позволяющих находить оптимальный план, и некоторые элементы их практического использования.

 

    1.  Теоретические аспекты исследования

                                           1.1 Теория игр

       В отличие от некоторых задач принятия решений в условиях определенности, риска и неопределенности, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодействующие стороны, интересы которых противоположны. При конфликтных ситуациях решения принимаются в условиях неопределенности двумя и более разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений в условиях конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру.

       Игра - это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

• выбор образа действия игроков на каждом этапе игры;
• информацию, которой обладает каждый игрок при осуществлении таких выборов;
• плату для каждого игрока после завершения любого этапа игры.

       Игру  можно определить следующим образом:

• имеются и конфликтующих сторон (игроков), принимающих решения, интересы которых не совпадают;
• сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;
• определен набор возможных конечных состояний игры (например, выигрыш, ничья, проигрыш);
• всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Платежи задаются в виде матрицы А = ||aj.

       В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя игроками) и множественные (имеющие не менее трех игроков). Каждый игрок имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных выборов, т. е. стратегий.

       Стратегией  игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока от начала игры до ее завершения. Стратегии каждого игрока определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой.

       Раздел  математики, изучающий конфликтные  ситуации, т.е. ситуации, в которых  интересы участников (игроков) противоположны или не совпадают, называется теорией игр. Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций, определяющая рекомендации по рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наибольший выигрыш (наименьший проигрыш). Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем может быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т.д.

       Необходимо  подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно  к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл. Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию с помощью математических методов, её необходимо упростить, учитывая лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта. Будем рассматривать игры, в которых у каждого из двух игроков А и В конечное число возможных действий - чистых стратегий. Допустим, что игрок А располагает m чистыми стратегиями , а игрок В – n чистыми стратегиями . Чтобы игра была полностью определённой, необходимо указать правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий и число - выигрыш игрока А за счёт игрока В или проигрыш игрока В. При игрок А платит игроку В сумму .

       Если  игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий ( , ) единственным образом определяет исход игры. Если же в игре используются и случайные ходы, то исход игры обусловлен средним значением выигрыша (математическим ожиданием). Таким образом, мы рассматриваем парные игры с нулевой суммой, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

       Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. Стратегию  игрока А называют оптимальной, если при её применении  выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался игрок В. Оптимальной для игрока В называют стратегию, при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии не применял игрок А.

       Максиминная стратегия игрока А: 

       Минимаксная стратегия игрока В:

       Таким образом, используя чистые стратегии, игрок А обеспечивает выигрыш  не меньше a, а игрок В в результате применения своих чистых стратегий может не позволить игроку А выиграть больше, чем b. Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, называют принципом минимакса. Максиминную и минимаксную стратегии игроков для краткости иногда называют минимаксными. 
 
 
 
 
 

       1.2 Элементы теории массового обслуживания 

       Системы массового обслуживания — это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

       С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

       Примерами систем массового обслуживания могут  служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;
• посты ремонта автомобилей;
• персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач;
• станции технического обслуживания автомобилей;
• аудиторские фирмы;
• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
• телефонные станции и т. д.

       Основными компонентами системы массового  обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

       Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания.

       Качество  обслуживания тем выше, чем больше обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.

       В промышленности СМО применяются  при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад  и выдаче их со склада; обработке  широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации  наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.

       В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:

       1) системы с отказами, в которых  при занятости всех каналов  обслуживания заявка не встаёт в очередь и покидает систему не обслуженной;

       2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встаёт в  очередь, если в момент её  поступления все каналы были  заняты.

       Существуют  и системы смешанного типа с ожиданием  и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.

       По  числу каналов обслуживания СМО  делятся на одноканальные и многоканальные.

       В зависимости от расположения источника  требований системы могут быть разомкнутыми, (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).

       Рассмотрим  в отдельности элементы СМО.

       Входящий  поток: на практике наиболее распространённым является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

       Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определённого количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.

       Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.

       Отсутствие  последствия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона

        ,

       где -интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу времени: (чел./мин, р./ч, автом./дн., квт/ч),

       где - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

       Для такого потока заявок время между  двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности

        .

       Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределённым экспоненциально:

        ,

       где v – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени:

        ,

       где - среднее значение времени ожидания в очереди.

       Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью

        ,

       где - интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени: