Применение оптимизационных методов к решению задач

        (чел./мин, р./дн., кг/ч, докум./дн.),

       где - среднее время обслуживания.

       Важной  характеристикой СМО, объединяющей l и m, является интенсивность нагрузки.

        . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.3 Динамическое программирование 

       Одна  из особенностей метода динамического  программирования состоит в том, что принятие решения по отношению  к многошаговым процессам рассматривается  не как единичный акт, а как  целый комплекс взаимосвязанных  решений. Эту последовательность взаимосвязанных  решений называют стратегией. Цель оптимального планирования – это выбрать стратегию,  обеспечивающую, получение наилучшего результата с точки зрения заранее выбранного критерия. Такую стратегию называют оптимальной.           

            Предметом динамического программирования является решение задач математического программирования, которые могут быть представлены в виде многошагового (многоэтапного) процесса. Также динамическим программированием называют особый математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к многошаговым процессам. Многошаговым считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд “шагов”, или “этапов”. Однако метод динамического программирования используется и для решения задач, в которых время не фигурирует.

          Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают  находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

       Динамическое  программирование — это планирование дальновидное, с учетом будущего, а не близорукое, когда руководствуются принципом «лишь бы хорошо сейчас, а там — что будет».

       Как же находить оптимальное управление в многошаговом процессе? Общее правило состоит в том, что управление на каждом шаге надо выбирать с учетом будущего. Из этого правила есть исключение — это последний шаг, где можно действовать без оглядки на будущее: его на последнем шаге нет.

       Управление  на последнем шаге надо выбирать так, чтобы получить наибольший эффект без учета будущего (так как его нет). Поэтому процесс динамического планирования естественно разворачивается с конца, сначала планируется последний шаг. Поэтапное планирование многошагового процесса должно производиться так, чтобы при планировании каждого шага учитывалась не выгода, получаемая только на данном шаге, а общая выгода, получаемая по окончании всего процесса, и именно относительно общей выгоды производится оптимальное планирование. Этот принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения.

    Другой  важной особенностью метода динамического  программирования является независимость оптимального решения, принимаемого на очередном шаге, от предыстории, т.е. от того, каким образом оптимизируемый процесс достиг теперешнего состояния. Оптимальное решение выбирается лишь с учётом факторов, характеризующих процесс в данный момент. Так, при выборе кратчайшего пути, ведущего из некоторого промежуточного пункта в конечный, водитель автомобиля принимает решение независимо от того, как, когда и какой дорогой он прибыл в данный пункт, а руководствуется лишь расположением этого пункта в общей схеме дорог.

    Итак, при решении оптимизационной  задачи методом динамического программирования необходимо учитывать на каждом шаге последствия, к которым приведёт в будущем решение, принимаемое  в данный момент. Исключением является последний шаг, которым процесс заканчивается. Здесь процесс можно планировать таким образом, чтобы последний шаг сам по себе приносил максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно к нему “пристраивать” предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д. Именно так - от конца к началу - и можно развернуть процедуру принятия решений. Но чтобы принять оптимальное решение на последнем шаге, надо знать, чем мог закончиться предпоследний шаг. Значит, надо сделать разные предположения о том, чем мог закончиться предпоследний шаг и для каждого из предположений найти решение, при котором эффект на последнем шаге был бы наибольшим. Такое оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определённым образом, называют условно-оптимальным.

    Аналогично  оптимизируется решение на предпоследнем  шаге, т.е. делаются все возможные  предположения о том, чем мог  завершиться шаг, предшествующий предпоследнему, и для каждого из возможных  исходов выбирается такое решение  на предпоследнем шаге, чтобы эффект за последние два шага (из которых последний уже оптимизирован) был наибольшим и т.д.

    Таким образом, на каждом шаге в соответствии с принципом оптимальности ищется решение, обеспечивающее оптимальное  продолжение процесса относительно состояния, достигнутого в данный момент. Если при движении от конца к началу оптимизируемого процесса определены условно-оптимальные решения для каждого шага и вычислен соответствующий эффект (эту стадию рассуждений называют иногда условной оптимизацией), то остаётся “пройти” весь процесс в прямом направлении (стадия безусловной оптимизации) и “прочитать” оптимальную стратегию, которая нас интересует.

    1.4 Сетевое планирование и управление

    В условиях все возрастающей сложности  производства весьма важно не только обеспечение его необходимыми производственными ресурсами, но и эффективное управление. В процессе управления необходимо координировать усилия всех исполнителей, участвующих в сложной динамической системе, своевременно вскрывать различные отклонения от плана, на каждом этапе выполнения программы определять решающие звенья, отделять существенное от несущественного, правильно оценивать складывающиеся ситуации в каждый данный момент, намечать необходимые меры. Коротко говоря, успешное руководство производственным процессом или совокупностью работ зависит от трех факторов: правильности принятых решений, точности их осуществления и методов контроля и воздействия.

    Организационно-управленческая работа имеет тоже содержание на любом  уровне руководства, разница имеется только в масштабах действий, широте полномочий и мере ответственности.

    Часто приходится планировать сложные  комплексы взаимосвязанных работ, направленных на достижение определённых целей. Примерами таких комплексов в экономике могут быть: комплекс мероприятий по реконструкции и модернизации производства; комплекс мер по внедрению нового технологического процесса; совокупность работ, связанных с автоматической обработкой прогнозной и плановой информации с помощью ЭВМ и др. При этом возникает ряд важных проблем, например: наилучшая организация проведения отдельных работ с тем, чтобы завершить весь комплекс в кратчайший срок; наиболее рациональное распределение ресурсов, минимизирующее суммарные затраты по выполнению всех работ; выявление перечня работ, выполнение которых в первую очередь влияет на окончание в срок всего комплекса и др.

       При планировании и оперативном управлении комплексами работ широко используются сетевые модели. Для этой цели разработаны  специальные системы планирования и управления (СПУ). Они  включают совокупность методов исследования сложных комплексов работ, основанных на использовании сетевых графиков. Сетевой график (сеть) является графической моделью всего комплекса работ или производственного процесса. С математической точки зрения сетевой график- это связный орграф без контуров.

       Обозримость сети облегчает восприятие взаимосвязей отдельных работ комплекса, вскрывает  последовательность их выполнения, упрощает процесс управления работами в ходе их выполнения. Хотя системы СПУ пока и не дают возможности вести оперативное управление с учётом всех показателей (времени, стоимости, ресурсов и т.д.), тем не менее, разработанные методы являются весьма эффективными.

       Дуги  на сети изображают произвольной длины  направленными отрезками прямых и интерпретируют как работы, а вершины изображают обычно кружками, в которых указывают порядковый номер или шифр и интерпретируют как события. У каждой дуги проставляется время выполнения работы, а иногда они имеют и другие числовые характеристики. Сеть не должна содержать контуров, так как никакая работа не может предшествовать сама себе.

       Работа  и событие являются основными  элементами сети. Под работой в СПУ понимаются любые действия, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени и приводящие к определённым результатам (событиям). Иногда выполнение работы требует затрат только времени (естественная сушка материалов, затвердевание бетона и др.). Иногда работы выражают только зависимости: показывают, что одна работа не может быть выполнена ранее какого-либо события. Такие работы называют фиктивными. Фиктивная работа не связана с затратами труда, времени и ресурсов. На сети она изображается отрезком штриховой линии без указания времени. Под событием понимают результат завершения одной или нескольких работ. Событие является предпосылкой для выполнения работ, следующих за ним. Поэтому любая работа на сети может быть определена двумя событиями, между которыми она находится. Событие же может принадлежать нескольким входящим и выходящим из него работам. На    рис 1 приведён пример сети, изображающий комплекс работ по возведению производственного корпуса.

РИС 1.

       В описанном способе представления  комплекса работ используют язык “события-работы”. Применятся и другой способ - “работы и события”, в которых вершины сети соответствуют работам, а дуги изображают их логические связи.

       В первую очередь, перед построением  сетевого графика необходимо составить  список всех работ, входящих в комплекс, представлять их конечные результаты (события). В отношении каждой работы следует выяснить, какие работы ей предшествуют и какие следуют за ней. Только после этого строится эскизный сетевой график, упорядочиваются и нумеруются (шифруются) его события (вершины графа). Если комплекс сложный, то его графическое представление строится по частям, которые затем “сшиваются”. При большом количестве работ и событий упорядочение их и сшивание отдельных сетевых графиков, а также поиск контуров производится на ЭВМ. Если в сети обнаружен контур, необходимо пересмотреть список работ и логические связи между ними. Обычно требуется, чтобы в сети было единственное исходное (начальное) событие и единственное завершающее, что возможно при введении фиктивных работ. В сети не должно быть хвостовых ( кроме исходного I) и тупиковых (кроме завершающего S) событий. Хвостовым называют событие, в которое не входит ни одна работа (рис 2, событие 3); тупиковым – событие, из которого не выходит ни одна работа (рис 2, событие 6).

        РИС 2.

                        Если событием начинается несколько  работ, после завершения которых  следует выполнение другой работы (рис 3, а; неправильное изображение), то вводятся фиктивные работы  и дополнительные события со  своими номерами (рис 3, б; правильное изображение).

       РИС 3.