Модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов. Простейшие схемы опционного хеджирования

Таким образом, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

               более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

               более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

               обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

При n>1 наращение выгоднее по простой учетной ставке, а дисконтирование - по простой процентной ставке.

При n=1 множитель наращения простой и сложной ставки совпадает, поэтому наращение выгоднее по ставке процента, а дисконтирование - по учетной ставке.

При n<1 наращение более выгодно по сложной учетной ставке, а дисконтирование – по сложной процентной ставке (чем больше множитель дисконтирования, тем выше приведенная стоимость).

2.2 Определение наращенных сумм с учетом инфляции

Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Инфляция – многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т.е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т.е. деньги обесцениваются.

В современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой условную величину.

Показатели финансовой операции могут быть представлены, как:

               номинальные, т.е. рассчитанные в текущих ценах;

               реальные, т.е. учитывающие влияние инфляции, и рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (Jτ), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (τ), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:

Jτ = 1 + τ                                                                                                                                            (1)

Тогда темп инфляции h:

h= (Jτ-1)*100%= τ*100                                                                                                                (2)

Если h — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за п таких периодов получим:

Jτ=(1+h/100)n                                                                                                                              (3)

Формула для исчисления наращенной суммы по простой процентной ставке с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:

FV = PV(1 + i*n) / (1 + τ) n                                                                                                                (4)

Формула для исчисления наращенной суммы по сложной процентной ставке с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:

FV = PV(1 + i)n / (1 + τ) n                                                                                                                (5)

Поскольку ставка доходности ( i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции ( τ ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.

Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.

Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:

               если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (τ = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;

               если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (τ > i),то происходит "проедание" капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;

               если уровень инфляции ниже процентной ставки (τ < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.

В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию ( iτ ).

Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:

iτ = [(1 + n i) • Jτ - 1] : n                                                                                                                (6)

где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);

iτ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле

iτ = i + τ + iτ                                                                                                                                            (7)

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

i = (i - τ) / (1 + τ)

Барьерная ставка – это ставка, которая компенсирует влияние инфляции. Она равна для начисления по простым процентам:

iб=( Jτ-1)/n                                                                                                                                            (8)

Барьерная ставка для сложного процента равна годовому темпу инфляции: iб=h

Годовой индекс инфляции для h=4% за квартал:

Jτ=(1+hкв/100)n =(1+4/100)4=1,170

Тогда годовой темп инфляции:

hгод=(1,170-1)*100=17,0 (%)

Индекс инфляции за 2 года:

Jτ год=(1+hгод/100)n =(1+17/100)2 = 1,367

При начислении по простой ставке Наращенная сумма с учетом инфляции :

FV= РV*(1+i*n)/ (1+hгод/100)n= 9000*(1+0,18*2)/ (1+17/100)2=  8945,6 (тыс. руб.)

При начислении по сложной ставке Наращенная сумма с учетом инфляции :

FV= РV*(1+i)n/ (1+hгод/100)n= 9000*(1+0,18)2/ (1+17/100)2 = 9166,7 (тыс. руб.)

Барьерная ставка компенсирует влияние инфляции.

При начислении по простым процентам барьерная ставка:

iб=( Jτ год-1)/n=(1,369-1)/2=0,184 или 12,4%

При начислении по сложным  процентам барьерная ставка равна:

iб=hгод=17%

Для hгод=17%; i=12% рассчитаем наращенную сумму при разных сроках n

(Приведено в таблице 1).

Таблица 1 – Наращенная сумма с учетом инфляции

Можно сделать вывод о том, что с увеличением срока наращенная сумма по простой ставке убывает, так как ставка инфляции выше барьерной ставки (12% меньше 12,4%), а по сложной – уменьшается, так как ставка процента 12% меньше барьерной ставки 17%). До года наращенная сумма по простой ставке больше наращенной суммы по сложной ставке. При сроке равном одному году они равны. При сроке больше года наращенная сумма по простой ставке меньше, чем по сложной.

2.3 Переменные ренты

В финансовой литературе ряд распределенных во времени выплат и поступлений называется потоком платежей.

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных финансовых операций: с ценными бумагами, в управлении финансами предприятий, при осуществлении инвестиционных проектов, в кредитных операциях, при оценке бизнеса, при оценке недвижимости, выборе альтернативных вариантов финансовых операций и т. п.

Члены потока могут быть как положительными величинами (поступления), так и отрицательными величинами (выплатами), а временные интервалы между членами такого потока могут быть равными и неравными.

Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.

По методу выплаты платежей выделяют

-                             обычные ренты, которые на практике встречаются чаще всего, – с выплатой платежа в конце периода ренты (постнумерандо);

-                             ренты, с выплатой в начале периода ренты (пренумерандо).

По величине членов ренты могут быть

-                             постоянные ренты, где величина каждого отдельного платежа постоянна, т.е. рента с равными членами;

-                             переменные ренты, где величина платежа варьирует, т.е. рента с неравными членами.

Обобщающими характеристиками ренты являются наращенная сумма и современная стоимость потока платежей.

Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п.

Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 + i).

Наращенная сумма годовой переменной обычной ренты:

FVA=                                                                                                                (9)