Модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов. Простейшие схемы опционного хеджирования

Любой покупатель опциона хотел бы иметь гарантию, что продавец выполнит свои обязательства при исполнении опциона. Покупатель опциона "колл" хочет получить гарантию того, что продавец способен поставить требуемые акции, а покупатель опциона "пут" желает иметь гарантию, что продавец в состоянии заплатить необходимую сумму денег. Поэтому биржи устанавливают при торговле опционами залоговые требования - систему защиты от действий продавца, известную под названием "маржа". Брокерским фирмам разрешено устанавливать по их желанию еще более строгие требования к их клиентам.

Многие инструменты имеют черты опционов, особенно опционов "колл". Рассмотрим некоторые из них. Варрант на акции (или просто варрант) - это опцион "колл", выписанный фирмой на свои акции. Варранты обычно эмитируются на более длительный срок (пять и более лет), чем типичные опционы "колл". Выпускаются также бессрочные варранты. Цена исполнения может быть фиксированной или изменяться в течение срока действия варранта, обычно в сторону увеличения. Начальная цена исполнения в момент выпуска варранта, как правило, устанавливается значительно выше рыночной цены базисного актива. Варранты могут распределяться между акционерами вместо дивидендов и продаваться в качестве нового выпуска ценных бумаг. Фирма может также продавать облигацию/акцию вместе с варрантом на нее. Одно из отличий варранта от опциона колл заключается в ограничении количества варрантов. Всегда выпускается только определенное количество варрантов определенного типа. Общее количество обычно не может быть увеличено, и оно сокращается по мере исполнения варрантов.

Исполнение варранта оказывает благотворное влияние на положение корпорации - корпорация получает больше средств, увеличивается количество выпущенных акций и сокращается количество варрантов .

Право, похоже, на варрант в том смысле, что оно также представляет собой опцион "колл", выпущенный фирмой на свои акции. Право также называют подписным варрантом. Они дают акционерам преимущественные права в отношении подписки на новую эмиссию обыкновенных акций до их публичного размещения.

Каждая акция, находящаяся в обращении, получает одно право. Одна акция приобретается за определенное количество прав плюс денежная сумма, равная цене подписки. Чтобы обеспечить продажу новых акций, подписная цена обычно устанавливается ниже рыночного курса акций на момент выпуска прав. Права обычно имеют короткий период действия (от двух до десяти недель от момента эмиссии) и могут свободно обращаться до момента их исполнения. Вплоть до определенной даты старые акции продаются вместе с правами. Это означает, что покупатель акции получит и права, когда они будут выпущены. После этого акции продаются без прав по более низкой цене.

1.2. Модели оценки опционов (Модель Блэка-Шоулза)

Главнейшая задача, которую необходимо решить инвестору - это определение цены опциона. Две наиболее известные модели определения премии опционов - это модель Блэка-Шоулза и биноминальная модель (BOPM) Кокса, Росса и Рубинштейна.

Модель Блэка-Шоулза была разработана для оценки стоимости европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Чтобы использовать данную формулу для оценки стоимости опциона на акции, по которым выплачиваются дивиденды, в формулу были внесены некоторые изменения. Формула Блэка-Шоулза для оценки действительной стоимости опциона имеет следующий вид:

Vc = N (d1) Ps - E/eRT * N (d2),

где:

d1 = [ln (Ps/E) + (R+0,5s2) T]/sЦT

d2 = [ln (Ps/E) + (R-0,5s2) T]/sЦT = d1-sЦT

где:

Vc -действительная стоимость опциона колл;

Ps - текущая рыночная цена базисного актива;

Е - цена исполнения опциона;

R - непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год;

Т - время до истечения, представленное в долях в расчете на год;

s - риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год [5.312-338с.].

Следует обратить внимание на то, что E/eRT - это дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента. Величина ln (Ps/E) - это натуральный логарифм Ps/E. N (d1) и N (d2) обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d1 и d2.

В данной формуле ставка процента R и стандартное отклонение актива s предполагаются постоянными величинами на протяжении всего времени действия опциона. Для облегчения подсчетов по данной формуле были разработаны таблицы значений N (d) для различных d. Формула Блэка-Шоулза часто применяется теми, кто пытается обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены. Опцион, который продается по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле, является кандидатом на покупку; и наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу.

Биноминальная модель Кокса, Росса и Рубинштейна используется для оценки премии американских опционов, прежде всего опционов пут. Весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени. Считается, что в течение каждого из них цена базисного актива может пойти вверх или вниз с определенной вероятностью. Получают значение цены базисного актива для каждого интервала времени, учитывая данные о стандартном отклонении его курса (строят дерево распределения цены), также определяют вероятность повышения и понижения курсовой стоимости актива на каждом отрезке временного интервала. Возможные цены опциона в данное время определяются, опираясь на значения цен актива к моменту истечения опциона.

После этого последовательным дисконтированием цен опциона (с учетом вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом интервале времени) получают значение его цены в момент заключения контракта.

1.3. Коэффициент хеджирования

Термин хеджирование ис­пользуется в банковской, биржевой и коммерческой прак­тике для обозначения различных методов страхования валютных рисков. В отече­ственной литературе термин "хеджирование" стал приме­няться в более широком смысле как страхование рисков от неблагоприятных изменений цен на любые товарно-ма­териальные ценности по контрактам и коммерческим опе­рациям, предусматривающим поставки (продажи) товаров в будущих периодах.

Контракт, который служит для страховки от рисков из­менения курсов (цен), носит название "хедж" (англ. hedge -изгородь, ограда).

Хозяйствующий субъект, осуществля­ющий хеджирование, называется "хеджер". Существуют две операции хеджирования: хеджирование на повышение;

Хеджирование на понижение.

Хеджирование на повышение, или хеджирование покуп­кой, представляет собой биржевую операцию по покупке срочных контрактов или опционов. Хедж на повышение применяется в тех случаях, когда необходимо застрахо­ваться от возможного повышения цен (курсов) в будущем. Он позволяет установить покупную цену намного раньше, чем был приобретен реальный товар. Предположим, что цена товара (курс валюты или ценных бумаг) через три месяца возрастет, а товар нужен будет именно через три месяца. Для компенсации потерь от предполагаемого роста цен необходимо купить сейчас по сегодняшней цене срочный контракт, связанный с этим товаром, и продать его через три месяца в тот момент, когда будет приобретаться товар. Поскольку цена на товар и на связанный с ним сроч­ный контракт изменяется пропорционально в одном на­правлении, то купленный ранее контракт можно продать дороже почти на столько же, на сколько возрастет к этому времени цена товара. Таким образом, хеджер, осуществля­ющий хеджирование на повышение, страхует себя от воз­можного повышения цен в будущем.

Хеджирование на понижение, или хеджирование прода­жей, - это биржевая операция с продажей срочного контр­акта. Хеджер, осуществляющий хеджирование на понижение, предполагает совершить в будущем продажу товара, и поэтому, продавая на бирже срочный контракт или опцион, он страхует себя от возможного снижения цен в будущем. Предположим, что цена товара (курс валюты, ценных бумаг) через три месяца снижается, а товар нужно будет продавать через три месяца. Для компенсации пред­полагаемых потерь от снижения цены хеджер продает сроч­ный контракт сегодня по высокой цене, а при продаже своего товара через три месяца, когда цена на него упала, покупает такой же срочный контракт по снизившейся (поч­ти на столько же) цене. Таким образом, хедж на понижение применяется в тех случаях, когда товар необходимо продать позднее.

Хеджер стремится снизить риск. вызванный неопре­деленностью цен на рынке, с помощью покупки или продажи срочных контрактов. Это дает возможность зафик­сировать цену и сделать доходы или расходы более предска­зуемыми. При этом риск, связанный с хеджированием, не исчезает. Его берут на себя спекулянты, т.е. предпринима­тели, идущие на определенный, заранее рассчитанный риск.

Спекулянты на рынке срочных контрактов играют боль­шую роль. Принимая на себя риск в надежде на получение прибыли при игре на разнице цен, они выполняют роль стабилизатора цен. При покупке срочных контрактов на бирже спекулянт вносит гарантийный взнос, которым и оп­ределяется величина риска спекулянта.

Если цена товара (курс валюты, ценных бумаг) снизилась, то спекулянт, ку­пивший ранее контракт, теряет сумму, равную гарантий­ному взносу.

Если цена товара возросла, то спекулянт возвращает себе сумму, равную гарантийному взносу, и получает дополнительный доход от разницы в ценах товара и купленного контракта.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. ГРАФИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ПРОЦЕССОВ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК