Задачи по "Макроэкономике"

28. Индекс цен дефлятор

По данным таблицы рассчитайте  индекс цен и дефлятор

 
Решение 
 
Индекс цен: 
 
 
 
Дефлятор: 
 

29. Состояние государственного бюджета

В прошедшем году страна имела следующие  показатели, ден. ед.: ВНП — 500; чистые инвестиции частного сектора — 75; государственные  закупки — 80; потребление домашних хозяйств — 250; поступление в государственный  бюджет прямых налогов — 30; косвенных  — 20; субвенции предпринимателям — 25; экспорт — 150; импорт — 110.  
Определить: 
а) располагаемый доход домашних хозяйств; 
б) амортизационный фонд (D); 
в) состояние государственного бюджета.  
 
Решение 
 
а) Определим величину НД на основе данных о его использовании 
у = 250 + 75 + 80 + 150 – 110 = 445. 
 
Поскольку прямые налоги составляют 30 ден. ед., то располагаемый доход: 
y^v = 445 – 30 = 415. 
 
б) Амортизационный фонд (D) соответствует разности (ВНП— ЧНП). В свою очередь ЧНП = 445 + 20 – 25 = 440.  
Следовательно, D = 500 – 440 = 60. 
 
в) Состояние госбюджета характеризуется разностью между государственными расходами и поступлениями в бюджет 
δ= (80 + 25) – (30 + 20) = 55.

30. Модель Солоу

Рассмотрите модель долгосрочного  экономического роста Солоу без  технологического прогресса. Пусть в рассматриваемой экономике государство взимает подоходный налог по ставке t, а величина государственных расходов на душу населения постоянна и равна g, причем государство не обязано иметь сбалансированный бюджет. 
 
а) Выведите разностное уравнение, характеризующее равновесную траекторию для этой модели. Найдите стационарное состояние. 
б) Исследуйте влияние ставки налога на подушевой доход и капитал в стационарном состоянии. Как будет изменяться темп роста дохода в результате повышения ставки подоходного налога? (изобразите ответ графически и поясните). 
в) Исследуйте влияние величины государственных расходов на душевой доход и капитал в стационарном состоянии. Как будет изменяться темп роста дохода с ростом g?  
г) Проанализируйте утверждение: «для увеличения темпа роста ВВП государству следует иметь профицит госбюджета, чтобы освободить ресурсы для инвестиций».  
 
Решение 
 
а) В равновесии совокупное предложение (выпуск) должен быть равен совокупному спросу, который представляет собой сумму потребительских расходов домохозяйств, инвестиций частного сектора и государственных закупок (чистый экспорт в закрытой экономике равен нулю):  
 
 
 
Найдем располагаемый доход при условии отсутствия трансфертов:  
 
 
 
Учитывая, что располагаемый доход расходуется на сбережения и потребление, получаем:  
 
 
 
Сокращаем потребление и подставляем функцию сбережений (сбережения являются постоянной долей в располагаемом доходе S_t=sYD_t): 
 
 
     
Учитывая, что валовые инвестиции равны сумме чистого прироста запаса капитала и амортизационных расходов ( ),  
условие равновесия примет вид: 
 
 
     
Поделим обе части этого уравнения на L_t и с учетом однородности первой степени функции F получим: 
 
 
 
Перейдем от абсолютных величин к величинам на одного рабочего, обозначив через k капитал на одного рабочего (k≡K/L), через f(k) – выпуск на одного рабочего (f(k) ≡ F(K/L,1)), через g государственные закупки на одного рабочего (g≡G/L). С учетом того, что  
 
 
 
получим уравнение накопления капитала:  
 
 
        
Поясним, что показывает это уравнение. Первое слагаемое в правой части соответствует частным сбережениям на душу населения, а второе- профициту госбюджета или сбережениям государства. Таким образом, если совокупные сбережения на душу населения превышают необходимые инвестиции, то эти избыточные средства позволяют увеличить запас капитала на душу населения.  
Определим стационарное состояние в рассматриваемой модели, как ситуацию в которой капитал на одного рабочего является неизменным:  
.  
Стационарный запас подушевого капитала k* определяется из условия:  
 
 
 
Точка пересечения кривой сбережений и кривой необходимых инвестиций определяет стационарный подушевой капитал k*. Заметим, что в модели может существовать два стационарных состояния с положительным подушевым капиталом, однако лишь одно из них будет устойчивым (это состояние, соответствующее подушевому капиталу k2 на рисунке). В дальнейшем будем рассматривать лишь устойчивое стационарное состояние. 
 
 
 
б) Исследуем влияние ставки налога на стационарный подушевой доход и капитал. Заметим, что с ростом ставки подоходного налога падают частные сбережения в силу сокращения располагаемого дохода, но при этом растут сбережения государства в силу роста доходов от подоходного налога, причем последний эффект является доминирующим и совокупные сбережения растут. В результате график функции сбережений на душу населения сдвигается вверх, что приводит к увеличению подушевого капитала ( ) и подушевого выпуска в новом стационарном состоянии. 
Заметим, что сразу вслед за повышением ставки подоходного налога темп роста капитала становится выше темпа роста населения, а по мере приближения к новому стационарному состоянию темпы роста K и L вновь сближаются и в новом стационарном состоянии темпы роста капитала и выпуска будут вновь равны темпу роста населения.  
 
 
 
На основе проведенного анализа можно заключить, что ставка подоходного налога не оказывает влияние на долгосрочные темпы роста выпуска, но влияет на темпы роста в процессе движения к стационарному состоянию.  
 
в) Исследуем влияние величины государственных расходов на стационарное состояние. В отличие от предыдущего случая, рост государственных закупок означает, что сократится профицит бюджета, что приведет к падению сбережений и, соответственно, падению подушевого стационарного капитала и выпуска (на графике кривая совокупных сбережений сдвинется параллельно вниз). 
 
 
 
Как будет изменяться темп роста дохода с ростом g? В результате сокращения сбережений мы будем наблюдать резкое падение подушевого капитала (и дохода). Падение подушевого дохода будет означать, что темпы роста дохода будут ниже темпов роста населения. После резкого падения подушевого дохода начнется постепенное восстановление и по мере приближения к новому стационарному состоянию темп роста дохода постепенно приблизится к темпу роста населения. 
 
г) Как мы видели, долгосрочные темпы роста ВВП согласно модели Солоу (без технического прогресса) определяются исключительно темпом роста населения и, следовательно, профицит бюджета не может оказать положительного влияние на долгосрочный экономический рост. В краткосрочном периоде, как мы видели увеличение профицита бюджета (рост ставки подоходного налога или сокращение государственных закупок) означает рост совокупных сбережений, что позволяетя получить дополнительные средства для инвестиций и способствует увеличению темпов роста в краткосрочном периоде (при переходе к новому стационарному состоянию)

31. Модель Шапиро-Стиглица

Рассмотрите модель Шапиро-Стиглица со следующей модификацией. Предположим, что фирмы могут регулировать интенсивность информации относительно того, как работают сотрудники, в зависимости от средств, затраченных на мониторинг. Будем считать, что затратив c денежных единиц, фирма может выявить сачкование с вероятностью q(c). 
 
а) Какие условия разумно наложить на q(c)?  
б) Как возможность влиять на интенсивность мониторинга отразится на задаче фирмы? 
в) Как изменятся занятость и равновесная заработная плата?  
 
Решение 
 
а) Разумно считать, что вероятность выявления сачкования возрастает по c. 
 
б) Задача максимизации прибыли примет вид: 
 
 
 
(1)  
 
Условия первого порядка: 
 
(2)     по  
 
(3)    по  
 
в) Анализируя условия первого порядка, находим, что с ростом издержек мониторинга c условие отсутствия сачкования сдвигается вниз. Действительно, поскольку  
, то  с ростом  кривая (1) сдвигается вниз. Одновременно, как следует из условия (2) рост издержек мониторинга сдвигает кривую спроса на труд вниз на величину изменения издержек. В результате, мы получаем новое равновесие, изображенное на рисунке: 
 
 
 
Итак, с ростом издержек мониторинга снижается равновесная эффективная заработная плата. Изменение занятости зависит от того, какая кривая сдвинется вниз сильнее (если кривая спроса сдвигается сильнее, как изображено на рисунке, то занятость сократится).

32. Модель гиперинфляции Кейгана

Рассмотрите модель спроса на деньги Кейгана при рациональных ожиданиях. Предположим, что в настоящее время темп роста денежной массы равен нулю. Пусть Центральный банк в момент времени t₀ объявляет, что в момент времени t’>t₀ он собирается увеличить денежную массу до уровня m’>m₀ (в терминах логарифмов). Покажите, как будет изменяться уровень цен, т.е. покажите, что текущий темп инфляции при рациональных ожиданиях зависит от ожидаемого в будущем темпа роста денежной массы.  
 
Решение 
 
Функция спроса Кейгана имеет вид:  
 
 
 
Перепиcав в логарифмах: 
 
 
 
Обозначим логарифмы переменных через прописные буквы (например, ) и воспользовавшись приближением:  
 
 
       
получим:  
 
 
 
Найдем уровень цен  
 
 
 
Для следующего периода имеем: 
 
 
 
и подставляя выражение для p_t+1 находим:  
 
 
 
Продолжая эту процедуру для последующих периодов и предполагая, что  
 
 
  
получаем: 
 
 
 
В первоначальной ситуации темп роста денежной массы был равен нулю, то есть денeжная масса была неизменна:  
 
Это означает, что в исходном равновесии уровень цен был равен:  
 
 
 
Центральный банк в момент времени t₀ объявляет, что в момент времени t’>t₀ он собирается увеличить денежную массу до уровня m’>m₀. Это означает, что уровень цен для  теперь будет равен: 
 
 
  
В целом мы можем записать, что  
 
 
 
Динамику цен можно схематично изобразить на рисунке. 
 
 
 
Таким образом, само объявление об увеличении в будущем денежной массы ведет к росту цен сегодня (в момент появления этой информации). Объяснение этого феномена таково: агенты с рациональными ожиданиями осознают, что в будущем будет высокая инфляция и стремятся избавиться от денег уже сегодня.

33. Стабилизационная политика

Рассмотрите экономику с краткосрочной  кривой предложения Лукаса:  
 
 
 
Предположим, что общество заинтересовано в максимизации функции общественного благосостояния:  
 
где a - случайная величина, причем математическое ожидание равно единице (Ea=1) и  
.  
Ожидания относительно инфляции формируются до того, как становится известна величина a, но правительство выбирает уровень инфляции после того, как a становится известна. Предположим, что целевая функция правительства (государственного чиновника, принимающего решение) имеет вид  
 
 
а) Какой темп инфляции выберет государственный чиновник? 
б) Каков ожидаемый темп инфляции? 
в) Какова ожидаемая величина общественного благосостояния? 
г) При каком значении c общественное благосостояние будет максимальным?  
д) Проинтерпретируйте полученные результаты. 
 
 
Решение 
 
а) Государственный чиновник выбирает уровень инфляции из решения задачи: 
 
 
 
Условие первого порядка имеет вид:  
,  
откуда находим:  
. 
 
б) Ожидаемая инфляция в силу рациональных ожиданий будет равна:  
 
 
 
в) Ожидаемое благосостояние будет равно: 
 
 
 
г) Найдем величину параметра c, максимизирующую общественное благосостояние, из решения задачи:   
 
 
 
Из условия первого порядка найдем c*:  
 
или  
 
д) В рассматриваемой задаче мы сталкиваемся с дилеммой: с одной стороны, нам нужно решить проблему несогласованности во времени, а, с другой стороны, чиновник должен реагировать и на реальный шок со стороны параметра a. Для решения проблемы несогласованности необходимо, чтобы чиновник, выбирающий темп инфляции придавал бы больший вес проблеме инфляции, нежели общество, т.е., чтобы параметр c был меньше. Для того, чтобы чиновник реагировал на реальный шок, необходимо, чтобы он, наоборот, больший вес придавал проблеме выпуска.  
Рассмотрим крайний случай, когда  
, тогда  
.  
Это означает, что нет никакой неопределенности и a=1. В этом случае в силу отсутствия шока нет необходимости в стабилизационной политике, а потому мы получаем, что c*=0 и, следовательно, . 
В условиях определенности единственная проблема, стоящая перед чиновником- это проблема инфляции, вес которой стремится к бесконечности, а потому чиновник выберет нулевой темп инфляции.

34. Кредитно-денежная политика

Рассмотрите экономику с функцией совокупного спроса  
,  
где m,p,y- логарифмы денежной массы, уровня цен и выпуска соответственно.  
Функция совокупного предложения имеет вид:  
 
где u_t - случайный шок совокупного предложения с нулевым математическим ожиданием и u не зависит от m. 
Денежная масса изменяется по следующему правилу:  
, причем .  
Пусть население имеет рациональные ожидания. 
 
а) Почему в модели с рациональными ожиданиями важно специфицировать экономическую политику (заданную в данном случае, как правило изменения денежной массы)? 
б) Покажите, что систематическая (ожидаемая) кредитно-денежная политика (то есть политика, следующая определенному выше правилу изменения m) не будет оказывать влияния на равновесный выпуск в рассматриваемой модели. 
в) Предположим, что в течении нескольких лет правительство проводило кредитно-денежную политику в соответствии с вышеописанным правилом. Покажите, что в этом случае, если вы будете анализировать поведение y и m, то вы найдете, что m оказывает влияние на выпуск. В частности, если вы попытаетесь оценить следующее уравнение  
,  
то вы найдете, что коэффициенты λ положительны.  
г) Можете ли вы на основании того, что коэффициенты λ положительны заключить, что систематическая кредитно-денежная политика оказывает влияние на реальные переменные?  
 
Решение 
 
а) Спецификация экономической политики в модели с рациональными ожиданиями важна, поскольку согласно гипотезе рациональных ожиданий агенты формируют свои ожидания на основе модели экономики, принимая во внимание то, какую политику собирается проводить правительство. 
 
б) Выражаем цены из функции совокупного спроса  
 
и подставляем в совокупное предложение:  
 
 
  
Находим равновесный выпуск: 
 
 
  
Подставляя равновесный выпуск в функцию спроса, находим уровень цен: 
 
 
 
Перепишем это выражение в терминах ожиданий, сформированных в предыдущий период (обозначать эти ожидания будем как E_t-1): 
 
 
 
поскольку по условию  
и   
согласно гипотезе рациональных ожиданий.  
Тогда 
 
и, подставив обратно в выражение для равновесного уровня цен, получим:  
 
 
  
или  
 
 
 
Таким образом, уровень цен зависит от ожидаемого предложения денег, ошибки в прогнозировании денежной массы (второе слагаемое) и экзогенного шока предложения. 
Подставив ожидаемый уровень цен в выражение для выпуска, получим: 
 
 
 
Итак, выпуск зависит от ошибки прогнозирования m и экзогенного шока предложения. Это означает, что систематическая (ожидаемая) денежно-кредитная политика не оказывает влияние на выпуск. 
 
в) Согласно правилу проведения кредитно- денежной политики: m_t=αm_t-1+σ_t 
следовательно,  
 
 Отсюда находим:  
 
Подставим в найденное ранее выражение для равновесного дохода:  
 
 
 
Предположим, что вы пытаетесь оценить коэффициенты регрессии: y_t=λ₁m_t+λ₂m_t-1 
 
 тогда, если правительство действительно в течении ряда лет изменяло предложение денег в соответствии с правилом  
m_t=αm_t-1+σ_t 
то  
 
 
 
Тогда оценки параметров имеют вид:  
 
 или  
 
Таким образом, мы нашли, что  
,  
но это еще не означает, что рост денежной массы ведет к росту выпуска, то есть влияет на реальные переменные.  
Мы не можем использовать регрессию y_t=λ₁m_t+λ₂m_t-1 для прогнозирования выпуска при различных вариантах кредитно-денежной политики, поскольку в зависимости от используемой политики будут меняться и коэффициенты этой регрессии.

35. Кейнсианский крест 

Рассмотрите открытую экономику, описываемую  моделью Кейнсианского креста с  паушальными налогами:     
 
                     
                             
а) Если рост дохода на 500 ведет к увеличению сбережений на 100, чему равна предельная склонность к потреблению? 
б) Если падение экспорта на 150 (при неизменном импорте) ведет к сокращению потребления на 300, то чему равен мультипликатор автономных расходов? 
в) Если увеличение трансфертных платежей на 200 ведет к росту выпуска на 600, то какова величина предельной склонности к сбережению? 
 
 
Решение 
 
а) Изменение дохода должно быть равно сумме изменений потребления и сбережений, откуда заключаем, что потребление возросло на 400. Поскольку в модели нет пропорциональных налогов, то предельная склонность к потреблению равна 
 
 
 
б) Найдем, как изменился совокупный спрос:  
 
 
 
Поскольку в равновесии совокупные расходы должны быть равны доходу, то это означает, что доход упал на 450. Находим мультипликатор:  
 
 
 
в) Как мы знаем, при увеличении трансфертов на единицу выпуск растет на  
 
 
 
Таким образом,  
 
,  
 
откуда находим, что c=3-3c  или c=3/4.

36. Модель IS-LM

Рассмотрите закрытую экономику с  фиксированными ценами и зарплатами и безработицей (модель IS-LM). Какая  политика необходима, чтобы увеличить  выпуск, не меняя при этом ставку процента и сохраняя сбалансированным государственный бюджет? 
 
 
Решение 
 
Использование только фискальной (или только кредитно-денежной) политики не принесет желаемого результата, поскольку это привело бы к росту (падению) процентной ставки. Следовательно, необходима смешанная политика.  
Итак, будем использовать комбинацию кредитно-денежной и фискальной экспансии. Для того, чтобы удовлетворить требованию о сбалансированности государственного бюджета в качестве стимулирующей фискальной политики будем использовать увеличение государственных закупок, финансируемое за счет одновременного увеличения паушальных налогов на такую же величину (будем считать, что в экономике действуют только паушальные налоги). Как мы знаем в этом случае мультипликатор автономных расходов будет равен единице и кривая IS сдвинется вдоль оси выпуска на величину изменения государственных закупок. Кредитно-денежную экспансию осуществим путем покупки Центральным банком государственных облигаций у населения. Результаты предложенной политики изображены на рисунке.  
 
 
 
       Рис 1. 
        
Замечание: в экономике, где действует и подоходный налог доходная часть бюджета автоматически увеличивается в результате стимулирующей политики, поэтому при увеличении государственных закупок нет необходимости увеличивать паушальные налоги на такую же величину. Найдем необходимое для сбалансированности бюджета изменение паушальных налогов для линейной модели:  
 
 
 
причем  
 
 
 
Подставив выражение для изменения дохода в уравнение для госбюджета, получим: 
 
 
 
откуда выразим изменение паушальных налогов:  
 
 
 
или 
 
 
 
Таким образом, при наличии пропорциональных налогов рост государственных закупок должен сопровождаться повышением налогов на величину