Задачи по "Макроэкономике"

1. Критическая ставка процента

Олег, Семен и Илья купили по государственной  облигации, имеющей номинальную  цену 50 ден. ед., ежегодный гарантированный  номинальный доход — 4 ден. ед. и  бесконечный срок обращения. Олег ожидает, что через год курс облигации, ден. ед., будет равен 36, Семен — 40, а Илья — 44. 
Определить значение критической ставки процента для каждого из покупателей облигации.  
 
Решение 
 
Критическая ставка процента превращает ожидаемый доход, состоящий из купонного дохода и изменения курса облигаций, в нуль. Поэтому она для каждого индивида определяется из следующего равенства: 
 
 
 
Расчеты по этой формуле дают следующие значения: 0.1 для Олега, 1/11 для Семена и 1/12 для Ильи.

2. Рынок денег

Из получаемых ежемесячно 10 000 ден. ед. дохода домашние хозяйства определенную долю (n) держат в виде наличных денег, а другую (1 - n) в виде облигаций, приносящих 4% годовых. Плата за конвертирование пакета облигаций в деньги (на любую сумму) равна 50 ден.ед. 
1. При каком среднем количестве наличных денег затраты на держание реальной кассы будут минимальны? 
2. Как изменится скорость обращения денег, если ставка процента возрастет до 9%?  
 
Решение 
 
1. Обозначим 1/n — число конвертирований облигаций в наличные деньги. Тогда 50/n — трансакционные издержки за месяц, а 10 000 n/2 — средний запас наличных денег. Альтернативные издержки держания кассы  
10 000n*0,04/2 = 200n. Определим оптимальное значение n 
 
 
 
Следовательно, средние кассовые остатки равны 
МН = 0,5 х 10 000 х 0,5 = 2500. 
 
2. При i = 4% деньги совершали 10 000/2500 = 4 оборота в месяц или 48 оборотов в год. При i = 9% 
 
 
 
При этом средняя касса равна 10000 / 6 = 1666,67, т.е. денежная единица делает 6 оборотов в месяц или 72 в год. Следовательно, скорость оборота денег возросла в 1,5 раза.

3. Реальный национальный доход

Центральный банк располагает активами в размере 60 млрд руб.; он установил  норму минимального резервного покрытия 20%. Коммерческие банки в качестве избыточных резервов держат 15% депозитов и выдали кредитов на сумму 65 млрд руб. Спрос населения на деньги для сделок и из-за предосторожности составляет 25% получаемого ими реального дохода, а спрос на деньги как имущество определяется по формуле: 36/(i - 1). Уровень цен постоянно равен 1. 
1.  Какова должна быть величина реального НД, чтобы при ставке процента, равной 5%, все предложенное банковской системой количество денег добровольно держало население? 
2. Как изменится эта величина, если при прочих неизменных условиях центральный банк снизит минимальную норму резервного покрытия вдвое, а коммерческие банки все приращение избыточных резервов используют для дополнительных кредитов? Насколько возрастет сумма кредитов?  
 
Решение 
 
1. Из балансового уравнения системы коммерческих банков найдем величину депозитов населения 
D = 0,2D + 0,15D + 65 => 0,65D = 65 =>D = 100.  
Из балансового уравнения центрального банка определим долю наличных денег в сумме кредитов, предоставленных коммерческими банками, 
60 = 0,2 х 100 + 0,15 х 100+ 65y=>y = 0,385. 
Следовательно, наличными население держит 0,385 х 65 = 25 ден. ед.  
Тогда общее предложение денег равно  
М = D + МН = 100 + 25 = 125.  
Спрос на деньги будет 
l = l_сд + l_пр + l_им = 0,25y + 36/(i - 1).  
На рынке денег будет равновесие, если  
125 = 0,25y + 36/(i - 1) или  у = 500 - 144/(i -1); 
это есть уравнение линии LM. При i = 5 величина у = 464. 
 
2. По формуле денежного мультипликатора определим новое предложение денег 
 
 
 
Новое уравнение линии LM будет 
143,5 = 0,25y + 36/(i-1) или y = 573,5 - 144/(i-1).  
При i = 5 величина y = 537,5.  
Следовательно, Δy = 537,5 - 464 + 73,5  
Найдем возросшую сумму: кредитов 
 
 
 
т.е. ΔК = 83,5 - 65 = 18,5.

4. Равновесное значение национального дохода

Даны следующие зависимости, определяющие равновесие на рынке благ: 
у = С + I + G; С = С_а + Cy^v; Т = Т_уу; I=R-I_ii. 
Дополнить их уравнением, недостающим для определения равновесия на рынке, и представить равновесное значение национального дохода в алгебраическом виде.  
 
Решение 
 
Недостает дефиниционного уравнения располагаемого дохода:  
y^v = y- Т_уу. 
 
Равновесное значение национального дохода 
 

5. Участие государства в экономике

В экономике без участия государства и заграницы объем автономных инвестиций равен 50 ед., а функция сбережений имеет вид: S = 0,2у - 100. При полном использовании производственного потенциала величина НД достигает 1000 ед. 
1.  Как посредством участия государства в экономике обеспечить производство на уровне НД полной занятости при условии, что: а) все государственные расходы должны осуществляться за счет налогов, взимаемых по прямой (единой) ставке подоходного налога; б) предельная склонность к сбережению от располагаемого дохода остается равной 0,2. 
2. На сколько при этом возрастет НД?  
 
Решение 
 
1. В исходных условиях равновесная величина НД определяется из следующего равенства:  
0,2у - 100 = 50=> у* = 750. 
 
С появлением государства, осуществляющего закупку благ в объеме собираемых налогов, равновесие на рынке благ устанавливается при 
 
 
 
Поскольку 
 
 
 
то в условиях задачи полная занятость будет обеспечена при  
1000 = 0,8(1000 - 1000Ту) + 50 + 1000 Ту, => Ту = 0,25 
т.е. государство должно ввести 25%-ной подоходный налог и закупить 250 ед. благ. 
 
2. Точно на такую же величину увеличится НД (согласно теореме Хаавельмо).

6. Сбалансированность государственного бюджета

При С = 0,6y^v; I = 120; G = 100; T_у = 0,25 на рынке благ установилось равновесие, но существующие производственные мощности позволяют увеличить НД в 1,25 раза. 
Как государство должно изменить расходы на покупку благ и (или) ставку подоходного налога, чтобы обеспечить полное использование  производственных мощностей при сбалансированности государственного бюджета?  
 
Решение 
 
у = 0,6(у - 0,25у) + 120 + 100 => у = 400.  
Следовательно, y_F = 400 х 1,25 = 500. 
 
Дальнейший ход решения основывается на теории Хаавельмо. 
 

7. Национальный доход равновесие

На рынке благ установилось равновесие при у=1000. 
Изменится ли равновесное значение НД и почему в результате следующих мероприятий правительства: а) повышения ставки подоходного налога с 20 до 25 % и одновременного увеличения государственных расходов со 150 до 200 ед.; б) сокращения на 15 ед. субвенции и увеличения на 15 ед. закупки благ.  
 
Решение 
 
а) Национальный доход увеличится, так как мультипликатор государственных расходов больше налогового мультипликатора. Поэтому прирост вследствие повышения госрасходов (Δy(ΔG)) будет больше, чем снижение из-за роста ставки налога (Δу(ΔТу)). 
 
 
 
 
 
По абсолютной величине (1) > (2). 
 
б) Национальный доход возрастет, так как уменьшение субвенций сократит потребительский спрос на 15  , а спрос государства увеличится на 15 ед.

8. Определить линию IS

В экономике без участия государства  и заграницы функции сбережений и инвестиций имели соответственно следующий вид: 
S= 0,5y - 50; I= 175 – 25i.  
С появлением государства была введена постоянная ставка подоходного налога 10% и все собранные налога расходовались им на покупку благ. Функция сбережений тогда приобретает вид:  
S = 0,5y^v - 50. 
Определить линию IS до и после появления государства: а) аналитически; б) графически.  
 
Решение 
 
а) Исходное уравнение линии IS определяется из следующего равенства: 
0,5у - 50 = 175 – 25i => у = 450 – 50i. С появлением государства условие равновесия на рынке благ принимает вид: S + Т= I + G. Согласно условиям задачи 
0,5(y – 0,1y) - 50 + 0,1y = 175 – 25i+ 0,1y => y = 500 - 55,56i. 
 
б) 

9. Линия IS

Правительство одновременно сокращает  государственные расходы и налоги на одинаковую сумму. 
Каково будет чистое воздействие этого мероприятия на совокупный спрос в соответствии с концепцией построения линии IS.  
 
Решение 
 
Совокупный спрос снизится на величину сокращения государственных расходов (налогов). Доказательство: 
y = C_yV(y-T_yy)+I + G 
Δy = C_yV(Δy-ΔT_yΔy)+ ΔG 
ΔI = 0. 
В условиях задания ΔТ_yΔу = G.  
Следовательно,  
Δy = C_yV (Δy - ΔG) + ΔG = Δy = ΔG.

10. Уравнение линии IS

Спрос домашних хозяйств на отечественные  блага характеризуются функцией С = 0,5у + 50, а спрос предпринимателей на инвестиции задан формулой I = 400 – 50i. Государство закупает 100 ед. Вывести уравнение линии IS.  
 
Решение 
 
Линия IS— совокупность сочетаний у, i, соответствующих равновесию на рынке благ, выводится из равенства 
 
y = C + I+ G;  
у = 50 + 0,5у +400 - 50 i + 100 =>у = 1100- 100 i.

11. Равновесие доход

Объем потребления домашних хозяйств определяется по формуле: С= 20 + 0,6у, предприниматели  постоянно осуществляют инвестиции в размере 30 ед. Определить, как повлияет на величину равновесного НД прирост  автономных сбережений на 5 ед.? Как объяснить такое изменение?  
 
Решение 
 
В исходных условиях S= у – 20 - 0,6у = -20 + 0,4у.  
Из условия равновесия на рынке благ определим величину НД: 
 у = 20 + 0,6у + 30 => у* =125.  
При увеличении автономных сбережений на 5 ед. функция сбережений принимает вид S = -15 + 0,4у.  
Тогда у = 15 + 0,6у+ 30 => у* =112,5.  
Таким образом, НД сократится на 12,5 ед.  
Наблюдается «парадокс сбережений». Он объясняется тем, что с увеличением автономных сбережений на 5 ед. на столько же сократилось автономное потребление. Так как в условиях задачи мультипликатор равен 1/( 1 - 0,6) = 2,5, то при снижении автономного потребления на 5 ед. НД сократится на 5*2,5 = 12,5 ед.

12. Рынок благ равновесие

Дано: S = 0,25y -10; I= 30. 
 
Определить: а) при какой величине НД на рынке благ будет равновесие; б) равновесный НД и объем сбережений, если, ожидая снижения дохода в будущем, домашние хозяйства при каждом уровне текущего дохода увеличат сбережения на 10 ед.; в) то же, что и в «б», если предприниматели, ожидая в будущем снижения спроса, сократят инвестиции до 20 ед.  
 
Решение 
 
а)  Из условия равновесия на рынке благ (I = S) следует, что  
0,25у- 10 = 30  => у = 160. 
 
б)  В этих условиях S = 0,25у, поэтому 0,25у = 30 => у* = 120;  
S * = 0,25*120 = 30. 
 
в) 0,25у = 20 => у* = 80; S * = 0,25*80 = 20.

13. Незапланированные инвестиции

В закрытой экономике без экономической  активности государства функция  потребления домашних хозяйств имеет  вид:   С = 10 + 0,8 у;  
предприниматели ежегодно планируют объем автономных инвестиций в размере 17 ед. благ; известны объемы произведенного в течение 5 последних лет национального дохода: 
 
t.........   1           2         3        4        5 
у.........  100       120    135     140     150 
 
Определить объемы незапланированных инвестиций в каждом году.  
 
Решение 
 
Незапланированные инвестиции равны разности Iфакт – Iплан. Фактические инвестиции равны фактическим сбережениям.  
Следовательно,

14. Дополнительный капитал

Фирма, имеющая 6,4 ед. капитала, работает в условиях совершенной конкуренции  при фиксированных ценах на факторы  производства w = 4; r = 10 (где w, r— прокатные цены соответственно труда и капитала). Любое количество своей продукции фирма продает по цене Р=30. 
Определить объем спроса фирмы на инвестиции (дополнительный капитал) в соответствии с неоклассической концепцией.  
 
Решение 
 
Выведем функцию затрат длинного периода на основе условия равновесия фирмы MPN/MPK = w/r.  
В данной задаче 
 
 
 
С учетом этого при заданной технологии зависимость количества используемого труда от количества производимой продукции имеет вид: 
 
 
а зависимость количества используемого капитала от количества производимой продукции: 
 
 
 
Поэтому функция затрат длинного периода имеет вид: 
 
 
 
Из условия максимизации прибыли конкурентной фирмы Р= LMC определим количество выпускаемой продукции и необходимого для этого капитала: 
 
 
 
Следовательно, спрос фирмы на дополнительный капитал будет: 
 8,4 - 6,4 = 2.

15. Объем инвестиций

В инвестиционном портфеле фирмы имеются  пять проектов капиталовложений, отличающихся объемами вложений в нулевом году и потоками чистых доходов в последующие годы (таблица).

 
Определить объем инвестиций фирмы  в соответствии с кейнсианской концепцией спроса на инвестиции, если она может  занимать и ссужать деньги по годовой  ставке, %: а) 5; б) 4.  
 
Решение 
 
Определим предельную эффективность каждого инвестиционного проекта из равенства 
 
 
 
где I₀ — объем вложений в нулевом году;  
П_t — чистый доход в году t;  
R — предельная эффективность проекта.  
 
Расчеты дают следующий результат: 
RI = 0,06; RII = 0,05; RIII = 0,07; RIV = 0,03; RV = 0,04.  
 
Поэтому при ставке 5 % объем инвестиций равен 290, а при ставке 4 % возрастет до 470.