Задачи по Эконометрике

Оглавление

 

ЗАДАНИЕ №1

Провести полный регрессионный анализ:

- определить  параметры линейной регрессии

- рассчитать  значимость параметров регрессии  и регрессии в целом

- определить  доверительные границы для параметров, регрессии и прогноза.

Результаты  проиллюстрировать графиками:

• Исходная зависимость
• Полученная регрессия
• Доверительные интервалы для регрессии в целом и прогноза.

1.Исходные данные, промежуточные и основные результаты  оформить в таблицу:

Xi

Yi

Xi2

Xi*Yi

Yi2

Ŷi

(Yi-Ŷi)2

SŶ

Нижн.гр φ

Верх.гр. φ

SY0

Нижн.гр Ў

Верх.гр.Ў

Σ

Ср.знач

 

В строках Σ и Ср.знач. вычисления проводить там, где есть символ «-».

2.Ниже таблицы  расположить параметры регрессии  и ее статистические оценки, полученные  при расчетах:

B₁= ; B₀= ; S²= ; S= ; Q= ; Q_R= ; F= ;F_a;1;n-2= ; S_b1 = ; t_b1= ; t_α;n-2 = ; r_ху= ; t_r= ; R²= .

3.Дать выводы  по значимости полученных результатов.

4. Для Yi, Ŷi , Нижн. гр φ, Верх. гр. φ, Нижн.гр Ў,  Верх. гр. Ў построить график на  отдельном листе книги Excel. В  отчете представить общий вид графика.

 

РЕШЕНИЕ:

1. Заполненная таблица представлена в приложении №1.
2. Расчеты по приведенным ниже формулам выполнены в Excel и также представлены в приложении №1.

=

СТЬЮДРАСПОБР(0,05;12)

FРАСПОБР(0,05;1;12)

Нижн.гр φ =

Верх.гр φ =

=

Нижн.гр Ў=

Верх.гр Ў=

3. Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение  объясняющих  для описания зависимой переменной.

Для определения  значимости уравнения регрессии  используются методы дисперсионного анализа. Согласно основной идее дисперсионного анализа необходимо составить отношение  оценок дисперсий с целью определения принадлежности их одной или разным генеральным совокупностям.

Определена общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней

.

В дисперсионном  анализе суммы квадратов приводят к числу степеней   свободы.

Q – имеет n-1 степеней свободы (из n  значений убираем одну связь, требуемую для формирования ).

 зависит лишь от параметра b₁ – наклона регрессии по отношению к прямой , следовательно, здесь число степеней свободы равно 1.

 имеет n – 2 число степеней свободы.

Вычислена F статистика для отношений приведенных к степеням свободы сумм квадратов.

.    

Это отношение  имеет F – распределение. Поэтому уравнение регрессии значимо на уровне α, если выполняется неравенство:

.   

Здесь - квантиль F- распределения с k₁ и k₂ степенями свободы числителя и знаменателя соответственно.

Значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

В нашем примере F=47,30; =4,75

Следовательно неравенство  выполняется, а регрессия значима  в целом.

Значимость  параметра b₁ устанавливается с помощью – статистики

.   

Параметр b₁ считается значимым на уровне α если выполняется неравенство:

  

В нашем примере t_b1=6,88; а t_0,05;12=2,18

Следовательно неравенство выполняется, а параметр В₁ значимо отличается от нуля.

При оценке значимости коэффициента корреляции исходят из того, что при отсутствии корреляционной связи статистика имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. Коэффициент корреляции значим, если

.

В нашем примере t_r=6,88. Как говорилось ранее t_0,05;12=2,18

Следовательно, неравенство выполняется, а коэффициент  корреляции значим.

Если известен коэффициент детерминации, то значимость регрессии, как и значимость самого коэффициента детерминации, может быть установлена из соотношения:

.

=48

=4,75

Следовательно неравенство выполняется и регрессия  значима.

4. График представлен в приложении №2.

ЗАДАНИЕ №2.

Произвести  расчет параметров множественной регрессии. Дать оценку значимости регрессии и ее параметров.

Порядок расчетов    

1. Получить матрицу Х (10 х 3), у которой первый столбец состоит из 1, остальные столбцы- иксы из задания.

2. Умножить X^Т на Х  - функция МУМНЖ()

3. Найти (X^ТX)^-1 - функция МОБР()

4. Определить X^ТY - функция МУМНЖ()    

5. Найти матрицу В = (X^ТX)^-1X^ТY- функция МУМНЖ()

6.Рассчитать регрессию  

7.Определить сумму квадратов  остатков Q_e=   

8. По ковариационной матрице оценок параметров ∑_В=s²(X^ТX)^-1

 рассчитать стандартные  ошибки параметров регрессии 

S_bi =

9. Дать оценку значимости  параметров регрессии по статистике

t_bi  =B_i / S_bi ,

используя квантиль СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7);

10. Построить  корреляционную матрицу парных  коэффициентов ||r_yxi||. Использовать команду Excel Сервис \ Анализ данных…Корреляция.

Результат

11. Определить  частные корреляции  r_{yx1 • x2} ; r_yx2•x1  ; r_x2x1•y 

;

12. Рассчитать частные уравнения регрессии:

y_x1•x2=

, y_x2•x1=

13.Определить  коэффициент детерминации R² (см. Задание1) и скорректированный коэффициент детерминации .

14.Рассчитать  коэффициент эластичности по каждому параметру  

 и стандартизованные  коэффициенты  ,

где S_y, СТАНДОТКЛОНП(интервал значений у или х) 

15. Рассчитать F статистику,

 по ней определить  значимость регрессии с помощью квантиля

FРАСПОБР(0,05;2;7).

 

 

РЕШЕНИЕ:

1. Матрицы Х и Х^Т (найдена с помощью функции ТРАНСП()) представлена в приложении №3.
2. Матрица Х^ТХ найдена с помощью функции МУМНОЖ() и представлена в приложении №3.
3. Матрица (X^ТX)^-1 найдена с помощью функции МОБР() и представлена в приложении №3.
4. Матрица Х^ТУ найдена с помощью функции МУМНОЖ() и представлена в приложении №3.
5. Матрица В = (X^ТX)^-1X^ТY найдена с помощью функции МУМНОЖ() и представлена в приложении №3.
6. Рассчитана регрессия по формуле:

Результаты  представлены в таблице в приложении №3.

7. Определена сумма квадратов остатков по формуле: Q_e=

Расчет произведен в Excel. Q_е=78,41

8. Построена ковариационная матрица ∑_В=s²(X^ТX)^-1. (Приложение №3)

S²=11,20

Рассчитаны стандартные ошибки параметров регрессии по формуле:

S_bi =

     Расчет  произведен в Excel. S=3,35.

     S_b0=6,71

     S_b1=0,78

     S_b2=0,86

9. t_bi  =B_i / S_bi   СТЬЮДРАСПОБР(0,05;7)=2,36

     t_b0=2,22<2,36 - B₀ – не значим

     t_b1=-1,05<2,36 – B₁ – не значим

     t_b2=-0,57<2,36 – B₂ – не значим

10. Построена корреляционная матрица парных коэффициентов ||r_yxi||.

Использована команда Excel Сервис \ Анализ данных…Корреляция. Матрица представлена в приложении №4.

r_yx1=-0,49

r_yx2=-0,40

r_x1x2=0,49

11. Определены частные корреляции  r_{yx1 • x2} ; r_yx2•x1  ; r_x2x1•y по формуле:

 

      Расчет произведен в Excel.

      r_yx1•x2=-0,37

      r_yx2•x1=-0,21

      r_x1x2•y=0,37

12. Рассчитаны частные уравнения регрессии:

    y_x1•x2=

   y_x2•x1=

    Результат  приведен в таблице в приложении №3.

13. Коэффициент детерминации

R²=0,27(расчет произведен в excel)

Скорректированный коэффициент детерминации

Ȓ²=0,07 (расчет произведен в excel)

14. Рассчитаны коэффициенты эластичности по каждому параметру по формуле:

расчет произведен в excel.

Е₁=-1,85

Е₂=-0,74

Рассчитаны  стандартизированные коэффициенты по формуле:

 где S_y, СТАНДОТКЛОНП(интервал значений у или х), расчет произведен в excel.

B_st1=-0,39

B_st2=-0,21

15. Рассчитана F статистика:

        

          F=1,32

        F_0,05;2;7=4,74

        1,32<4,74 – следовательно, множественная регрессия не значима.

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ №3

Задание на гетероскедастичность.  

1. Определить значимость гетероскедастичности по Голдфельду-Квандту.

2. Использовать  тест Уайта для исключения  гетероскедастичности.

3. Найти параметры регрессии взвешенным МНК. 

Порядок расчета.

Для расчетов статистик регрессии  используем  функцию Excel ЛИНЕЙН(У;Х;;1)