Государственная Морская Академия им. С.О.Макарова

Кафедра экономики и управления на водном транспорте 
 

ДЕЩЕНЯ  РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ 
 

Факультет      МТМ курс     3 группа   5 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

По дисциплине:    Эконометрика 
 

         На тему:  Решение эконометрической задачи 
 

Работа допущена к защите    __________________________               _____________

                                                                                                                                    ^{(подпись руководителя)                                                                              (дата)} 

Признать, что  работа

выполнена и  защищена с оценкой   __________________________________ 
 

Руководитель         _______________   ___________  ____________________

                                                                                              ^{(должность)                                          (подпись)                                                     (и.,о., фамилия)}

                                 _______________

                                              ^(дата) 
 
 
 

Санкт-Петербург

2009

 

Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

 

      Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей. Современное определение предмета эконометрики было выработано в уставе Эконометрического общества, которое главными целями назвало использование статистики и математики для развития экономической теории. Теоретическая эконометрика рассматривает статистические свойства оценок и испытаний, в то время как прикладная эконометрика занимается применением эконометрических методов для оценки экономических теорий. Эконометрика дает инструментарий для экономических измерений, а также методологию оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. Кроме того, эконометрика активно используется для прогнозирования экономических процессов как в масштабах экономики в целом, так и на уровне отдельных предприятий. При этом эконометрика является частью экономической теории, наряду с макро- и микроэкономикой.

      Термин  «эконометрика» состоит из двух частей: «эконо» — от «экономика» и «метрика» — от «измерение». Эконометрика входит в обширное семейство дисциплин, посвященных измерениям и применению статистических методов в различных областях науки и практики. К этому семейству относятся, в частности, биометрия, технометрика, наукометрия, психометрия, хемометрия, квалиметрия. Особняком стоит социометрия — этот термин закрепился за статистическими методами анализа взаимоотношений в малых группах, то есть за небольшой частью такой дисциплины, как статистический анализ в социологии^[5]. 

 

1. Исходные данные и условие задачи 

      По  условию поставленной задачи нам  даны независимые переменные Х₁, Х₂, Х₃, и зависимая переменная Y (таблица 1).

Таблица 1

Условия задачи

 

2. Подбор метода решения

      По  данному условию задачи мы видим, что проводилось 20  независимых  наблюдений какого-либо процесса или  явления. Мы имеем три независимых переменных “X”, пронумерованных индексами «1», «2» и «3» (Х₁, Х₂, Х₃) и одну зависимую переменную - “Y”. Нам предстоит построить функцию (уравнение регрессии), наиболее точно описывающую данный процесс.

      В предмете «Эконометрика» существует огромное количество методов для выполнения поставленной нам задачи, например:

• Метод Наименьших Квадратов и его разновидности
• Метод Максимального Правдоподобия
• Обобщенный Метод Моментов
• Метод Хекмана и др.

      В предложенном нам случае мы воспользуемся  Методом Наименьших Квадратов (МНК), так как возможности этого метода довольно широки, ввиду большого количества его разновидностей. Например, если Линейный Метод Наименьших Квадратов не даст нам точных и надежных результатов, мы сможем легко преобразовать его в одну из его разновидностей, например, Нелинейный   МНК, Двухшаговый МНК, Взвешенный МНК и др.

      В предмете «Эконометрика» МНК получил  самое широкое распространение  и применение. Наша задача будет  базироваться именно на этом методе, на линейном методе наименьших квадратов.

      Теоретические данные, критерии, различные коэффициенты и другие инструменты, которые также  понадобятся в ходе решения, будут  подробно описаны в основной части  проекта.

 

3. Регрессионный анализ

 

      Регрессионный анализ (линейный) — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X₁, X₂,...,X_p. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения.

        Цели регрессионного анализа:

• Определение наличия связи между переменными и характера этой связи (т. е. нахождение описывающего её математического уравнения);
• Определение степени детерминированности вариации критериальной переменной предикторами;
• Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой (-ых);
• Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой.

3.1 Математическое определение  регрессии

  

      Строго  регрессионную зависимость можно  определить следующим образом. Пусть Y, X₁,X₂,...,X_p — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений X₁ = x₁, X₂ = x₂,...,Xp = xp определено условное математическое ожидание:

y(x₁,x₂,...,xp) = E(Y | X₁ = x₁, X₂ = x₂,..., Xp = xp)

(уравнение  линейной регрессии в общем  виде),

то функция  y(x₁,x₂,...,x_p) называется регрессией величины Y по величинам X₁,X₂,...,X_p, а ее график — линией регрессии Y по X₁,X₂,...,X_p, или уравнением регрессии.

      Зависимость Y от X₁,X₂,...,X_p проявляется в изменении средних значений Y при изменении X₁,X₂,...,X_p. Хотя при каждом фиксированном наборе значений X₁ = x₁, X₂ = x₂,..., X_p = x_p величина Y остается случайной величиной с определенным рассеянием.

      Для выяснения вопроса, насколько точно  регрессионный анализ оценивает  изменение Y при изменении X₁,X₂,...,X_p, используется средняя величина дисперсии Y при разных наборах значений X₁,X₂,...,X_p (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

3.2 Метод Наименьших  Квадратов (расчет  коэффициентов)

 

      На  практике линия регрессии чаще всего  ищется в виде линейной функции Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + + b_NX_N (линейная регрессия), наилучшим образом приближающей искомую кривую. Делается это с помощью метода наименьших квадратов, когда минимизируется сумма квадратов отклонений реально наблюдаемых Y от их оценок (имеются в виду оценки с помощью прямой линии, претендующей на то, чтобы представлять искомую регрессионную зависимость):

      где M — объём выборки.

      Этот  подход основан на том известном  факте, что фигурирующая в приведенном  выражении сумма принимает минимальное  значение именно для того случая, когда  Y = y (x₁,x₂,...x_N).

      Для решения задачи регрессионного анализа  методом наименьших квадратов вводится понятие функции невязки:

 

      Условие минимума функции невязки:

      Полученная  система является системой N + 1 линейных уравнений с N + 1 неизвестными b₀...b_N.  Если представить свободные члены левой части уравнений матрицей:

а коэффициенты при неизвестных в правой части  матрицей:

 

то получаем матричное уравнение: , которое легко решается методом Гаусса. Полученная матрица будет матрицей, содержащей коэффициенты уравнения линии регрессии:

3.3 Интерпретация параметров  регрессии

 

      Параметры b_i являются частными коэффициентами корреляции; (b_i)² интерпретируется как доля дисперсии Y, объяснённая X_i, при закреплении влияния остальных предикторов, т.е. измеряет индивидуальный вклад X_i в объяснение Y. В случае коррелирующих предикторов возникает проблема неопределенности в оценках, которые становятся зависимыми от порядка включения предикторов в модель.

4. Коэффициент детерминации

 

      Коэффициент детерминации (R²)— это квадрат множественного коэффициента корреляции. Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

      Формула для вычисления коэффициента детерминации:

где y_i — выборочные данные, а f_i — соответствующие им значения модели.

      Также это квадрат корреляции Пирсона между двумя переменными. Он выражает количество дисперсии, общей между двумя переменными.

      Коэффициент принимает значения из интервала  [0;1]. Чем ближе значение к 1 тем ближе модель к эмпирическим наблюдениям.

      В случае парной линейной регрессионной  модели коэффициент детерминации равен  квадрату коэффициента корреляции, то есть R² = r².