Производственная функция. Предельный и средний продукт. Бюджетные ограничения. Отдача от масштаба производства

Санкт-Петербург

2011

Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Для удовлетворения потребностей потребителя  необходимо производство.

     Можно сказать, что производство – это  процесс соединения таких факторов как капитал, труд, земля и предпринимательские способности с целью получения новых товаров и услуг, необходимых потребителям.

1. Производственная  функция

 

     Для того чтобы описать поведение  фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя  ресурсы в тех или иных объемах. Процесс производства продуктов описывается с помощью производственной функции.

     Производственная  функция – зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов.

     Иначе можно сказать, что производственная функция— экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант производственной функции) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов факторов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант производственной функции) на различных уровнях экономики — от фирмы (предприятия) до народного хозяйства в целом. В отдельной фирме, корпорации и т. п. производственная функция описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства.

     При моделировании поведения производителя с помощью производственной функции делают ряд упрощающих предположений.

     1. Производится один продукт, объем  его производства обозначают  TР (от англ. total product – общий продукт). Объем произведенного продукта нередко еще обозначают через Q или q.

     2. В случае расхода одного ресурса  считают, что этим ресурсом  является труд. Затраты труда  обозначают L (от англ. labour – труд).

     3. В случае нескольких ресурсов  считают, что последовательность  их использования в производстве  не влияет на величину выпуска продукта. В случае двух ресурсов считают, что это труд и капитал. Затраты капитала обозначают К.

     4. Непрерывная производственная функция  дифференцируема по всем своим  аргументам.

     5. Используемые ресурсы в той  или иной степени способны  замещать друг друга в производстве. Это значит, что сокращение затрат одного ресурса можно компенсировать увеличением затрат другого ресурса таким образом, что выпуск продукта останется неизменным.

     6. Цель производителя состоит в  максимизации выпуска при данных  затратах.

     Опыт  показывает, что производство хорошо описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:

     

,

     где Q – максимальный объем производства при заданных факторах производства; L, K, M – затраты труда, капитала и материалов соответственно; D – положительная константа; – показатели эластичности объема производства по труду, капиталу и материалам соответственно, не превосходящие единицу:

     

. 
 

     Такой вид производственной функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

     В частности, широко используются функции  выпуска в сельском хозяйстве, где  с их помощью изучается влияние  на урожайность таких факторов, как, например, разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственными функциями используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к производственным функциям с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями производственной функции можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию (зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия) и др.

     Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах — от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени.

     Наиболее  широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственной функции. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

     

     или

     

     Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Например, в производственной функции, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей — численность занятого населения x₁, сумму основных и оборотных фондов x₂, площадь используемой земли x₃. Только два сомножителя у функции Кобба—Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20—30-е гг. ХХ в.:

     N = A · L^α · K^β,

     где N — национальный доход; L и K — соответственно объемы приложенного труда и капитала .

     Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска (Эффект масштаба).

     В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например, (в 2-факторном случае): Y(t) = A(t) L^α(t) K^β(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

     Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

     Дальнейшая  “динамизация” производственной функции может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

     Описывающие производственную функцию соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).

     Особая  проблема — учет в макроэкономических производственных функциях фактора технического прогресса. С помощью производственной функции изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов, которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES — Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES — Variable Elasticity of Substitution).

     На  практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических производственных функций: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.

     При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции — в противном случае неизбежны грубые ошибки.

     Приведем  некоторые важные производственные функции.

     Линейная  производственная функция:

     P = a₁x₁ + ... + a_nx_n,

     где a₁, ..., a_n — оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.

     Функция CES:

     P = A [(1 – α) K^-b + αL^-b]^-c/b,

     в этом случае эластичность замещения  ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:

     

     Отсюда  и происходит название функции.

     Функция CES, как и функция Кобба— Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба—Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба—Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа.

2. Предельный  и средний продукт

 

     С производственной функцией связан ряд  важных характеристик производства. К ним относят совокупный, предельный и средний продукт.

     Совокупный  продукт (Q или ТР) – это количество экономического блага, произведенное с использованием некоторого количества переменного фактора.

     Предельный  продукт (MP) определяется как прирост совокупного продукта, полученный в результате бесконечно малых приращений количества использованного переменного фактора. Если производственная функция непрерывна, то предельный продукт равен производной производственной функции:

     

     Предельный  продукт зависит как от производственной функции, так и от исходного набора ресурсов, к которому добавлена дополнительная единица переменного ресурса.

     Если  предельная полезность никогда не возрастает, то предельный продукт ведет себя несколько иначе. С увеличением расхода ресурса предельный продукт сначала возрастает, а затем убывает.