Принцип "золоиого сечения"

Глава 1.  Понятие «золотого сечения». 

1.1 Правило "золотой пропорции". "золотое сечение", "золотой прямоугольник", "золотая спираль".

     Экономические системы, являясь наиболее сложными из систем, с трудом поддаются такому "явному и здравому" управленческому преобразованию, как оптимизация. Очевидно, что чем сложнее экономическая система, тем труднее ее оптимизировать. Кроме того нужно учитывать, что оптимизации поддаются не все системы.

     Многочисленными исследованиями установлено, что процессы гармонизации протекают согласно правилу "золотой пропорции". Структура многих известных самоорганизующихся систем подчинена этому правилу. В таких системах отношение целого и его частей находится в соответствии с правилом "золотой пропорции". Число 1,618… называется "золотой пропорцией", а деление отрезка в указанном отношении - "золотым сечением":

     

     

     Рисунок 1.1  Построение "золотого сечения"

     Математический  алгоритм метода «золотого сечения» состоит в следующем:

1. На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.
2. Тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.
3. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

 
 

     Можно построить прямоугольник, стороны  которого связаны золотым отношением. Такой прямоугольник по определению будет являться "золотым прямоугольником". Стороны "золотого прямоугольника" имеют отношение 1,618 к 1. Чтобы построить "золотой прямоугольник", первоначально строится квадрат со сторонами, равными двум единицам. Затем проводится линия от середины одной стороны квадрата к одной из его вершин, образующих противоположную сторону, как показано на рисунке 2. В построенных таким образом прямоугольниках стороны связаны "золотым коэффициентом". В итоге, и прямоугольник AFGC, и прямоугольник BFGD являются "золотыми".

     

     Числа 0,618..; 1,618...; 2,618… называются числами "золотого сечения".

                 

     Рисунок 1.2. Построение "золотого прямоугольника" 

     В то время как "золотое сечение" и "золотой прямоугольник" представляют собой статичные формы структурной функциональности, "золотая спираль" отражает динамизм и упорядоченный рост или прогресс. Для построения "золотой спирали" используют "золотой прямоугольник". Каждый "золотой прямоугольник" можно поделить на квадрат и меньший "золотой прямоугольник", как показано на рисунке 3. Процесс такого деления теоретически может продолжаться бесконечно.

     

     Рисунок 1.3. Построение "золотой спирали"

     Нарисованные  в результате квадраты закручиваются  внутрь, как они помечены на рис. 3. (A, B, C, D, E, F и G). В любой точке золотой спирали отношение длины дуги к ее диаметру равно 1,618. Отношение диаметров и радиусов, отстоящих друг от друга на 90º, в свою очередь, равно 1,618, что и показано на рис. 3.

     

     где d1 = r1 + r3; d2 = r2 + r4 и т.д.

     Закономерности "золотой спирали", определяемые соотношениями (2), могут использоваться при анализе динамических процессов, происходящих в экономических системах, в целях определения степени их гармоничности.

       Числа 0,618..; 1,618...; 2,618… называются числами "золотого сечения". И они относятся к последовательности Фибоначчи. Последняя имеет следующие особенности:

     Сумма любых двух соседних чисел равна  следующему числу в последовательности. Например: 3+5 = 8; 5+8 = 13 и т.д.;

     отношение любого числа последовательности к следующему приближается к 0,618 (после первых четырех чисел). Например: 1/1= 1; 1/2 = 0,5; 2/3 = 0,67; 3/5 = 0,6; 5/8 = 0,625; 8/13 = 0,615; 13/21 = 0,619 и т.д. Обратим внимание, как значение соотношений колеблется вокруг величины 0,618, причем размах флуктуации постепенно сужается (рис. 4);

     При делении каждого числа на следующее  за ним через одно получаем число 0,382; при умножение - 2,618 соответственно.

     

     График 1.1 График изменения чисел Фибоначчи

     Сами  по себе свойства числовой последовательности и коэффициентов Фибоначчи представляют собой отдельную тему. Самое важное заключается в том, что с помощью этих чисел описываются разнородные процессы в природе и обществе. В последнее время появились работы, использующие последовательность Фибоначчи в экономике, в частности при прогнозировании цены, то есть в техническом анализе.[3] 
 

1.2 Метод «золотого сечения», алгоритм.

Алгоритм  метода «золотого сечения»

1.Ввести a, b, e - точность вычисления,

       

2.Вычислить:

x1 =b - (b-a);

x2 =a + (b-a);

3.Вычислить: 

y1 = f(x1);

y2 = f(x2);

4.Если y1<=y2, то для дальнейшего деления оставляют интервал [a,x2] и выполняют следующее:

b: = x2;

x2: = x1;     y2: = y1;

x1 := b-(b-a) ;   y1 := f(x1)

5.в противном случае (если y1 > y2), для дальнейшего деления оставляют интервал [x1, b] и выполняют следующее:

a := x1;

x1 := x2;    y1 := y2;

x2 := a+(b-a);   y2 :=f(x2);

6.Сравнение длины интервала неопределенности с заданной точностью e:

Если (b-a)<=e, то положить x* := (b-a)/2 (точка минимума), иначе (если (b-a)<e) перейти к п.4.