Применение методов математической статистики для решения экономических задач

     Достоинства метода скользящих средних заключаются в относительно простом алгоритме расчетов, удобном для реализации на компьютере, а также в несложной интерпретации получаемых результатов, даёт близкую к действительности картину долговременных изменений. Минимальная информация, необходима для построения прогноза по методу скользящей средней, легко доступна( либо на предприятии, либо из посторонних источников). Анализ временных рядов методом скользящей средней используется, как правило, в краткосрочном прогнозировании. При недостатке данных (например, нет информации о продажах нового продукта) метод скользящей средней бесполезен. Да и проекция на будущее старых схем не всегда оказывается оправданной. Невозможность учёта влияния случайных факторов – это ещё один недостаток метода скользящей средней. Так же отрицательная сторона метода состоит в субъективности выбора периода осреднения или порядка скользящей средней, который может находиться в интервале от 5 до 30 уровней. При анализе временных рядов использовался метод скользящей средней, где все данные были равноправны. Более правильным представляется способ, в котором данным приписываются веса: более поздним данным  придается больший вес, чем более ранним. Этот метод обеспечивает быстрое получение прогноза на один период вперёд и автоматически корректирует любой прогноз в свете различий между фактически и спрогнозированным результатом.

     В практике технического анализа применяют три вида скользящих средних – простые, взвешенные и экспоненциальные. Необходимо отметить, что методика расчета всех видов скользящих средних по биржевым данным имеет некоторые особенности по сравнению с использованием этого метода для решения задач исследования тенденций в рамках традиционного статистического анализа.

     Основное  отличие, относящееся ко всем трем видам, заключается в том, что рассчитанные скользящие средние относятся не к центральному моменту времени периода осреднения, а к последнему. Это обусловлено основной задачей расчета скользящих средних биржевыми аналитиками – краткосрочным прогнозированием. Линию скользящих средних совмещают с линией ценового графика, и на основе изучения их взаимного расположения формулируют выводы о намечающихся изменениях тренда. При этом используется допущение, что наблюдаемая тенденция сохранится, по крайней мере, на протяжении исследуемого периода. Таким образом, скользящая средняя не просто воспроизводит основную тенденцию развития, но и в некоторой степени, экстраполирует ее.

     Применение  метода скользящей средней . Индексы сезонности показывают фактические колебания параметров рынка, соответствующие определенным сезонам, но они не полностью исключают влияние случайных и второстепенных факторов. Для того, чтобы выявить закономерности сезонности и тенденции сезонной волны, необходимо сгладить эмпирические данные, ввести сезонную линию тренда. Наиболее простым способом выявления линии тренда служит механическое выравнивание динамического ряда, или, как его еще называют, метод скользящей средней. Его суть заключается в расчете средней величины из трех (пяти и более) уровней ряда, образованных последовательным исключением начального члена ряда и замещения его следующим по порядку.

      1.3 Задача о построении аддитивной модели временного ряда

     Покажем построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 4.1.

Было  показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4.5).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4.5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).

Таблица 4.5

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

     Таблица 4.6

Для данной модели имеем:

      .

Корректирующий  коэффициент: .

Рассчитываем  скорректированные значения сезонной компоненты ( ) и заносим полученные данные в таблицу 4.6.

Проверим  равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

            .

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4.7

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда ( ) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

            .

Подставляя  в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.7).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).

На одном  графике отложим фактические  значения уровней временного ряда и  теоретические, полученные по аддитивной модели.

Рис. 4.6.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

            .

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней  временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

            .

Получим

            ;

            .

Значения  сезонных компонент за соответствующие  кварталы равны: и . Таким образом,

            ;

            .

Т.е. в  первые два квартала 2003 г. следовало  ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение  мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Таблица 4.8