Таблица. 1. 

[2:140-143]

Из таблицы 1. видно, что предельные полезности благ, приходящиеся на рубль затрат, не равны. Это говорит о том, что распределение денежных средств не оптимально, поскольку благо В приносит наибольшую полезность, а благо А – наименьшую. Как в этом случае должен поступить рациональный потребитель? Он увеличивает потребление блага В и уменьшит потребление блага А.

Перераспределяя свой доход таким образом, потребитель постарается уравнять свои средневзвешенные предельные полезности. При этом он достигает положения равновесия (максимум благосостояния). В этом заключается смысл второго закона Госсена, который гласит: максимум полезности от потребления заданного набора благ потребитель получит при условии равенства предельных полезностей всех потребленных благ.

В результате перераспределения  расходов на покупки будут получены следующие данные: 

Таблица. 2. 

В этом случае суммарная  предельная полезность от потребления трех благ составит: 150 + 60 + 45 = 255. Мы видим, что > . Любая другая комбинация позволяет получить меньшую суммарную полезность для покупателя. Экономисты говорят, что потребитель находится в состоянии равновесия при условии:

, 

[2:140-143]

где - предельная полезность денег.

Для всех непокупаемых благ X и Y выполняется условие: 

;  . 

Это условие  означает, что предельная полезность денег больше, чем полезность благ X и Y, поэтому данные блага не будут куплены потребителем.

Кривые безразличия и бюджетное ограничение. Оптимум потребителя.

Для моделирования  потребительского выбора используют кривые безразличия и бюджетное ограничение.

Кривые безразличия  позволяют описать поведение потребителя с помощью предпочтения или ранжирования благ.

Предпочтения  потребителя касаются всех благ, однако в целях упрощения мы будем  рассматривать лишь два блага  – X и Y.

Кривая  безразличия – это множество точек, каждая из которых представляет собой такой набор из двух товаров, что потребителю безразлично, какой их этих наборов выбрать, поскольку их полезность одинакова.

Так, потребителю  безразлично, какой набор товаров  выбрать:

6 батонов хлеба  и 2 пакета молока;

4 батонов хлеба  и 4 пакета молока;

1 батонов хлеба  и 6 пакета молока и т.п.

Данные наборы товаров имеют одинаковую полезность (равноценны), так что если соединить  все точки, обозначающие в пространстве наборы двух товаров X (хлеб) Y (молоко), то получим линию равной полезности (кривую безразличия - , , ) (Рис. 3.).  

[2:143-147]

              

                 

Рис. 3. Кривые безразличия 

Если с точки  зрения данного потребителя наборы А и В равноценны, то точки А и В лежат на одной кривой безразличия. Кривая безразличия, лежащая выше и правее другой кривой, показывает более предпочтительные для данного потребителя наборы товаров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[2:143-147]

Типы  кривых безразличии.

         

Рис. 4. Типы кривых безразличия 

Для двух абсолютно взаимозаменяемых товаров MRS = const (MRS – предельная норма замещения). В этом случае кривые безразличия принимают вид прямых линий. Обычно такие товары приравниваются к одному товару ( ).

Кривая  - товары вообще не могут заменять друг друга (правый и левый ботинок). Такие товары жестко дополняют друг друга (кривая безразличия – взаимно перпендикулярные отрезки).

Кривая  показывает, что, чем больше товара имеет потребитель, тем больше его он хотел бы иметь. Кривая безразличия вогнута к началу координат.

 

Бюджетное ограничение.

Кривые безразличия  позволяют выявить предпочтения потребителя и возможность замены одного блага другим. Но они не показывают, какой  

[2:143], [2:147]        

именно набор  товаров потребитель считает для себя наиболее предпочтительным.

Естественно, потребитель  стремится приобрести товарный набор, расположенный на наиболее удаленной  от начала координат кривой безразличия. Но он ограничен в своих средствах. Для изображения множества доступных потребителю товарных наборов используется бюджетная линия (линия цен и расходов). 

Пусть I – месячный доход потребителя. Он расходует его на приобретение двух товаров – X и Y;

 – цены товаров X и Y.

Бюджетное ограничение имеет вид: 

.

Сущность бюджетного ограничения состоит в том, что  доход потребителя равен сумме  расходов на покупку товаров X и Y.

Преобразуем предыдущее равенство и получим уравнение бюджетной линии (линии цен): 

;

.

Если потребитель  весь доход I израсходует на покупку товара X, то он сможет приобрести его в количестве .

Если весь доход  пойдет на приобретение товара Y, то потребитель купит количество . 
 

[2:147-151]  

Рис. 5. Бюджетная линия 

Все товарные наборы, соответствующие точкам на бюджетной  линии, по стоимости равны доходу I и являются поэтому доступными для потребителя. Все наборы, расположенные выше и правее бюджетной линии, стоят дороже и поэтому недоступны для него.

Оптимум (равновесие) потребителя.

Перенесем бюджетное  ограничение на карту безразличия.

Рис. 6. Оптимум потребителя 

[2:150-151]

Потребитель выберет  товарный набор, который наиболее удален от начала координат, при условии, что его доход позволяет ему это сделать (он получит максимум удовлетворения). Он выберет точку Е, в которой бюджетная линия лишь касается кривой безразличия , расположенной выше кривой .

Оптимальный для  потребителя товарный набор Е содержит единиц товара X и единиц товара Y.

В точке Е углы наклона кривой безразличия и бюджетной линии совпадают. Поэтому в точке оптимума выполняется равенство

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[2:150-151]

Постановка  задачи в MathCad.

 

Пусть потребитель  располагает некоторой суммой средств ,

которую он может потратить на приобретение благ. Решается статическая

задача, т.е. отсутствует  возможность делать накопления и уровень цен остается фиксированным.

 Как наилучшим  способом подойти к распределению доходов, зная функцию полезности , где вектор - расход на приобретение соответствующих благ?

Функции полезности соответствует оценка потребителем

набора  - причем если набор предпочтительнее набора , то .

Постулируют следующие  свойства функции полезности.

Если , то - возрастание

потребления любого продукта при сохранении потребления

всех других продуктов ведет к возрастанию  полезности, т.е. , .

Эти частные  производные называются предельной полезностью

каждого продукта.

Предельные полезности убывают с ростом потребления, т.е. .

Предельная  полезность каждого продукта увеличивается, если

растет объем  потребления любого другого продукта, т.е. .

Линии равного  уровня функции полезности именуют

линиями безразличия. 

[1:84-86]

Задачей потребительского выбора (оптимального поведения на

рынке) называют задачу максимизации полезности при  условии

бюджетных ограничений:

,  (5.1)

Набор , являющийся решением данной задачи, называют локальным

рыночным равновесием. Это задача нелинейного программирования,

но ее решение, учитывая свойства функции полезности, имеет простой геометрический смысл.

Вначале рассмотрим потребительский набор из двух благ, например

-сумма, потраченная на питание,  -сумма, потраченная

на приобретение одежды.

Пусть функция  полезности имеет следующий

вид:          

где ,   - минимально необходимый уровень затрат на питание и

одежду;

      - ценность для потребителя каждого блага.

На рис. 1 приведен документ Mathcad, иллюстрирующий трехмерный график функции полезности и линии безразличия.

По оси отложены объемы потребления , по оси объемы потребления, по оси значения полезности . 
 
 
 
 
 
 

[1:84-86] 

Рис.1. Графики функции полезности. 

Оптимальному  потребительскому набору будет соответствовать точка касания бюджетного ограничения одной из линий безразличия, соответствующей максимально достижимой полезности, так, как изображено на рис.2. 
 

[1:86]

Вычисление  оптимального выбора 

Рис.2. Иллюстрация  графического решения. 

[1:84-86]

Для оптимизации  полезности функции многих переменных можно использовать следующую программу (Рис.3.), исходными данными в которой  служат функции полезности.