Министерство  образования и  науки Российской Федерации 

Государственное образовательное  учреждение 

высшего профессионального  образования 

«Стерлитамакская  государственная  педагогическая академия им. 

Зайнаб  Биишевой» 

Институт  математики и естественных наук 
 
 

                                                                                                          Кафедра математического

                                                                                                                             моделирования

      
 

Курсовая  работа 

Оптимизация функции полезности 
 
 
 

                                   Выполнила: 

                                                                         студентка 4 курса,  гр. И-42     

                       

                                                                         по специальности «Информатика»                   

            

                                                                          Нугуманова Г.Р. 

                                                                        Научный руководитель:

                                                         

                                                                         Сепашина Е.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Стерлитамак 2011 г. 
 
 

Содержание: 

1.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

Полтора десятилетия назад Россия вступила в рыночные отношения. Многие люди не знали, да и не знают, как себя вести в новой обстановке экономических отношений. Перед обществом, как и перед отдельным человеком, всегда стоит задача выбора направлений и способов использования ресурсов в различных целях.  
Целью данной работы является раскрытие темы касающейся полезности и рационального поведения потребителя в условиях рынка.  
Теория потребительского выбора изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется своими предпочтениями и доходом, который он готов потратить на приобретение товаров, а рынок – наборами товаров (потребительскими наборами) и ценами единиц товаров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  термины.

Потребитель – любой экономический агент (индивид, частная фирма, государственные предприятия), потребляющий конечные блага и услуги.

Полезность – синоним таких понятий, как благосостояние, экономическое благосостояние, удовольствие и даже счастье. В более строгом значении полезность – это суждение потребителя о благе.

Общая полезность – это удовлетворение, которое получают потребители от потребления конкретного набора благ.

Предельной  полезностью называют полезность, равную приращению, увеличению общей полезности вследствие покупки дополнительной единицы данного блага.

Первый  закон Госсена (закон убывающей предельной полезности) гласит, что при последовательном потреблении дополнительных единиц какого-то блага их полезность уменьшается.

Функция полезности – это отношение между количеством товара или услуги, покупаемых потребителем, и удовлетворением, которое он предположительно получит от его потребления. Таким образом, это функция показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

,

где - полезность блага;

      - последовательные количества блага.

Цена – определяется не общей, а предельной полезностью блага.

Второй  закон Госсена: для конкретного потребителя функция полезности максимизируется в том случае, когда его денежный доход распределяется таким образом, что каждый рубль, затраченный на приобретение любого блага, приносит одинаковую предельную полезность:

 

[2:135-185]

Кривая  безразличия – это множество точек, представляющих равноценные для потребителя наборы из двух товаров (потребителю безразлично, какой из этих наборов выбрать) – они имеют одинаковую полезность.

Бюджетную линию используют для изображения множества доступных потребителю товарных наборов. Можно записать в виде:

,

где I – доход потребителя;

       – цены товаров X и Y.

Смысл бюджетного ограничения состоит в том, что  доход потребителя равен сумме  расходов на покупку товаров X и Y.

Оптимум потребителя (максимум благосостояния при данном ограничении) достигается в точке касания бюджетной линии кривой безразличия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[2:135-185]

Аналитическая постановка задачи.

Общая и предельная полезности блага. Полезность и  цена.

Каждый потребитель решает для себя три вопроса: 1) что купить? 2) сколько стоит? 3) хватит ли денег на покупку?

Чтобы ответить на первый вопрос, необходимо выяснить полезность блага для потребителя. Чтобы ответить на второй – исследовать цену. Чтобы решить третий – определить доход потребителя.

Эти три проблемы – полезность, цена, доход – составляют содержание теории потребления.

Закон убывающей предельной полезности (Первый закон Госсена): при последовательном росте потребления блага полезность каждой добавленной единицы уменьшается.

Для иллюстрации  этого закона приведем пример. Некий  поселенец, избушка которого одиноко  стоит в далеком лесу, в стороне  от всяких путей сообщения, только что  собрал со своего поля пять мешков хлеба. Этим хлебом должен прокормиться до следующей жатвы. При этом он решил следующим образом распределить свой запас. Один мешок необходим ему, чтобы не умереть с голоду, другой – чтобы сохранить здоровье и силы. Третий мешок он использует для откорма домашней птицы, четвертый – на изготовление водки, пятый на корм попугаю, которого держит для развлечения. Все мешки взаимозаменяемы, поэтому имеют одинаковую полезность. Но если их расположить по степени удовлетворения потребностей хозяина, то самую высокую полезность имеет первый мешок зерна – он необходим для сохранения жизни поселенца. Его полезность можно оценить в 10 единиц. Полезность второго мешка будет несколько ниже, допустим, 8 единиц. Степень важности мясной пищи выразится 6 единицам, потребления водки – 4 единицами, содержание попугая будет иметь самую низкую степень важности – 1. 

[2:135-140]

Таким образом, по мере увеличения количества мешков их субъективная

полезность для  поселенца убывает. При этом общая полезность возрастает и

в сумме составляет 29 единиц: 10 + 8 + 6 + 4 + 1. Прирост общей полезности (TU – total utility) от потребления последней, дополнительной единицы блага, после прибавления к которой еще одной полезность не увеличивается, получил название предельной полезности (MU – marginal utility).

Итак, функция полезности – это функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

,

где - полезность блага;

      - последовательные количества блага.

Рис. 1. Графики а) общей и б) предельной полезности 

На графиках видно, что максимальная полезность TU достигается при потреблении 4-й единицы блага, однако предельная полезность при этом равна  

[2:135-140]

нулю (точка  ). Это значит, что благо полностью удовлетворяет потребность. Если дальнейшее увеличение потребления приносит вред (MU отрицательна), то общая полезность снижается (отрезок АВ на графике а).

Следовательно, чем большим количеством блага  обладает индивид, тем меньшую ценность имеет для него каждая дополнительная единица этого блага. А это значит, что цена блага определяется не общей, а предельной его полезностью для потребителя.

Поскольку предельная полезность блага по мере потребления снижается, то потребитель увеличивает объем покупок лишь при снижении цены.

Возьмем, например, воду, полезность которой для всего  живого, в том числе для человека, не подлежит сомнению, но цена воды часто  приближается к нулю. С другой стороны, мы наблюдаем, что бриллианты, которые менее полезны для жизни человека, имеют довольно высокие цены.

Дело в том, что величина запасов воды и алмазов  различна: вода имеется в изобилии, тогда как алмазы встречаются  редко. Следовательно, потребность  в воде может быть легко удовлетворена в отличие от потребности в бриллиантах. В первом случае быстро достигается предел полезности, тогда как во втором до этого предела достаточно далеко. Цена же определяется не общей, а предельной полезностью блага. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[2:135-140]

Рис. 2. График предложения воды и алмазов 

Таким образом, парадокс воды и алмазов не опровергает  функцию полезности, показывающую убывание полезности блага с ростом его  количества, а напротив, подтверждает её. Поскольку вода имеется в изобилии, то её предложение ( ) велико, а цена ( ) низка. Благодаря этому потребители получают огромный выигрыш. С алмазом обстоит наоборот: их количество ( ) мало, поэтому цена ( ) высока, вследствие чего потребительский излишек мал, а затраты велики.

Потребительский  выбор и максимизация благосостояния потребителя.

Функция полезности лежит на основе потребительского выбора. При моделировании поведения потребителя экономисты основываются на:

- ограниченности  дохода потребителя; 

[2:140-143] 

- аксиоме ненасыщенности (потребитель стремится иметь  большее количество любых благ);

- аксиоме увеличения общей полезности;

- аксиоме убывания  предельной полезности.

Мы знаем, что  потребитель стремится увеличить  общую полезность от потребления благ. Но как он это может сделать, предельная полезность по мере потребления благ убывает?

Допустим, потребляются три блага: А, В, С. Предельная полезность этих благ, выраженная в рублях, составляет соответственно: 

;  ;  . 

При этом суммарная  предельная полезность составит:

100 + 80 + 45 = 225.

 Цена единицы блага равна:

;  ;  . 

Определим среднюю  взвешенную предельную полезность каждого  блага (т.е. предельную полезность, приходящую на 1 рубль, ) и сведем данные в таблицу.