Математична статистика

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольна  робота

з дисципліни «Математична статистика » 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2008

 

Задача

Оценивание параметров и проверка гипотезы о нормальном распределении данных выборки в случае выборок большого объема.

Проведена выборка  объема n = 100.

1. Построить интервальный вариационный ряд распределения.
2. Вычислить выборочные характеристики по вариационному ряду: среднюю (x), центральные моменты (µ_k), дисперсию (s² ), среднее квадратическое отклонение (s), коэффициенты асимметрии (A_в) и эксцесса (E_в), медиану (M), моду (m), коэффициент вариации (V_в).
3. Построить гистограмму, полигон и кумуляту.
4. Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограмми и полигона, а также по значениям коэффициентом A_в и E_в.
5. Рассчитать плотность и интегральную функцию теоретического нормального распределения и построить эти кривые на графиках гистограмми и кумуляти соответственно.

6. Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласия Пирсона . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

В таблице 1.1 приведен коэффициент соотношения заемных  и собственных средств для 100 электромеханических  предприятий. 

Таблица 1.1 –  Исходная таблица рассматриваемого признака.

 

Таблица 1.2 –  Вариационный ряд распределения.

 

 

1. Построение  интервального ряда распределения.

1) Определение  среди имеющихся наблюдений минимального  и максимального значений признака. В данном примере х_min = 0,3 и x_max= 12.

2) Определение размаха варьирования признака. Находим R = x_{max -} х_min = 11,7.

3) Размах варьирования R разбиваем на k частичных интервалов, число которых выбирается из условия . Длина частичного интервала . Принимаем, k = 10, = 1,2.

4) Определение  граничных интервалов ( ). За нижнюю границу первого интервала предлагается принимать величину, равную а₁= х_{min –} h/10. Верхняя граница первого интервала b₁= а₁ + h. Тогда, если  b_і  - верхняя граница і-го интервала (причем а_і+1= b_і), то b₂= а₂ + h, b₃= а₃ + h и т.д. В задаче граничные значения составят: а₁=0,3 – 1,2/10 =0,18, b₁= 0,18 + 1,2 = 1,38, а₂=1,38, b₂ = 1,38 + 1,2 = 2,58 и т.д.

Границы последовалельных интервалов записаны в столице 1 таблицы 1.3.

5) Групировка  результатов наблюдений. В каждый  интервал включаем варианты больше, чем нижняя граница интервала ( ), и меншие или равные верхній границе ( ).

В результате получим интервальный статистический ряд распределения частот (таблица 1.3).

Таблица 1.3 –  Интервальный ряд распределения  соотношения заемных и собственных средств.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2. Вычисление выборочных характеристик распределения

     Заменяем  интервальный ряд дискретным, для  этого находим значения середин  интервалов . Занесем их в таблицу 1.4.

     Пользуясь таблицей 1.4, вычисляем среднюю выборки. Имеем, . .

     Таблица 1.4 – Вспомогательная таблица  для вычисления выборочных характеристик

      

       Выборочный центральный момент  k-го порядка равен

      .

     Выборочная  дисперсия s² равна центральному моменту второго порядка, s² = 7,15, а выборочное среднее квадратическое отклонение .

     Выборочные  коэффициенты асимметрии A_в и эксцесса E_в определяются по формулам ; . Имеем , .

     Медиана М – значение признака , приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений медианой М является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда, т.е .

     Мода  mдля совокупности наблюдений равна тому значению признака, которому соответствует наибольшая частота.

     

     Так как  , М =4,8 и m =       отличаются друг от друга, поэтому есть основание предполагать теоретическое распределение ненормальным.

     Коэффициент вариации служит для сравнения величин  рассеяния по отношению к выборочной средней:

     3. Графическое изображение вариационных  рядов.

     Полигон и кумулята применяются для изображения  как дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения относительных частот , накопленных относительных частот и найдем плотность частоти – отношение , заполнив таблицу 1.5.

     Гистограмма и полигон являются аппроксимациями  кривой плотности (дифференциальной функции) теоретического распределения. Поэтому  по их виду можно судить о гипотетическом законе распределения (рис. 1.1, 1.2). 

     Таблица 1,5 – Статистический ряд распределения  коэффициента соотношения заемных  и собственных средств для 100 электромеханических  предприятий.