Контрольная работа по "Эконометрика"

Предварительная обработка исходной информации дала следующие результаты:

Задание:

1. Для  изучения связи рядов рассчитайте  отклонения фактических значений  каждого ряда от теоретических (   );

2. Для  оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной  корреляции отклонений от линии  тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп.1 и 3);

3. Постройте  уравнение множественной регрессии  с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте  полученные результаты.

Решение:

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и (см. табл. 1)

Таблица 1.

 

    Выполним  расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии  отклонений с₁,  и .  Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

    Вид уравнения будет следующим: . С изменением отклонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,103 часть своей единицы. В дальнейшем коэффициент с₁ используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;              

    Выявлена не тесная связь отклонений от трендов, которая означает, что на 32,6% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 68,4% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

    Второй  вариант оценки связи двух рядов  основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

  .

    Данный  подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей  уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а₁ и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

    Расчёт  определителей дал следующие  результаты:

Значения  параметров регрессии: ;  , а уравнение имеет вид:

.

    Коэффициенты  тесноты связи уровней составят: ; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 94,6% вариации экспорта.

Таблица 2.

 
    

2. Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

    Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей  связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: .  В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а₂   отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов.  Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

    Истинную  силу и направление связи рядов  отразит коэффициент регрессии  а₁  , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

    Используем  для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

    Для построения уравнения в стандартизованном  масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:

    

    

    Получено  следующее уравнение: .

    Его параметры позволяют сделать  вывод о том, что влияния импорта  на экспорт сильнее, чем влияние  систематических факторов, формирующих  линейный тренд:

    По  значениям  -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме: ;  

     .

    Уравнение имеет вид: . С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,4499 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t ) экспорт увеличивается в среднем за год на 1,0122 млрд. $.

    Оценку  тесноты связи рядов, очищенную  от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

     ;    .

    Как видим, получены результаты, совпадающие  с оценками тесноты связи по отклонениям  от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

    Использование динамической модели в прогнозе заключается  в подстановке в её правую часть  прогнозных значений фактора K и фактора t. То есть,