Контрольная работа по "Эконометрика"

 
 

     

    Задача  №1.

    По  территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

    Таблица №1. Исходные данные для расчета.

 

    ¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

    Задание:

    1. Расположите территории по возрастанию  фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

    2. Постройте поле корреляции и  сформулируйте гипотезу о возможной  форме и направлении связи.

    3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

    4. Оцените тесноту связи с помощью  показателей корреляции  (r_yx  и η_ylnx) и детерминации (r²_yx и η²_ylnx), проанализируйте их значения.

    5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

    6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

    7. По лучшему уравнению регрессии  рассчитайте теоретические значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

    8. Рассчитайте прогнозное значение  результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ). 

    9. Рассчитайте интегральную и предельную  ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза.

    Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . Данные представим следующем виде:

 

    Таблица №2. Исходные данные, расположенные по возрастанию значения фактора .

    2. Построим поле корреляции:

    

2. Начнем  моделирование с построения уравнения  прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

    Расчёт  неизвестных параметров уравнения  выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

    Таблица №3. Разработочная таблица.

      Расчёт определителя системы выполним по формуле:

    

9*974,8735 – 75,506*75,506 = 5022,452;

      Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

    

225,9*974,8735 – 2927,663*75,506 = -832,174.

      Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

    

9*2927,663 – 225,9*75,506 = 15147,48.

    

    

    Полученное  уравнение имеет  вид  . В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. валовой региональный продукт увеличится на 3,016 млрд. руб. Свободный член оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объем валового регионального продукта.

    Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

    

    В нашем случае, когда рассматривается  линейная зависимость, расчётная формула  преобразуется к виду:

    

    Это означает, что при изменении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней

3. Определим коэффициенты для логарифмической функции . Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. таблицу №4.

    Таблица №4. Разработочная таблица.

      Расчёт определителя системы  выполним по формуле:

    

;

      Расчёт определителя свободного  члена уравнения выполним по  формуле:

    

      Расчёт определителя коэффициента  регрессии выполним по формуле:

    

    

    Полученное  уравнение имеет вид 

4. Определим показатели корреляции и детерминации:

    для линейной зависимости:

         

    Коэффициент корреляции, равный 0,8892, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость  между инвестициями в основной капитал  и валовым региональным продуктом. Коэффициент  детерминации, равный 0,790684, устанавливает, что  вариация валового регионального продукта на 79,1% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 20,9%, что является сравнительно небольшой величиной.

    для логарифмической функции:

         

5. Оценим надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

    для линейной зависимости:

    Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости валового продукта от инвестиций рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_{фактич.} и сравним его с табличным значением – F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

    

    Фактическое значение критерия показывает, что  факторная вариация результата почти  в 34 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валового регионального продукта и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат  с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости α=0,05.