Контрольная работа по “Исследование операций в экономике ”.

Решение

Построим  матрицу переходных вероятностей:

Поскольку все элементы матрицы  положительны, то система регулярна и потому существуют финальные вероятности , соответственно состояний , .

Составим  систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными , :

_или

Уравнения полученной системы пропорциональны (например, второе уравнение получается из первого  умножением на -1), а потому одно из них, например второе, можно отбросить. Заменив  второе уравнение нормировочным  условием, получим систему:

решив которую, найдём: и

Индивидуальное задание  5. Модели СМО

Задача 5.20. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью l = 100 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания контролером–кассиром одного покупателя = 1,5 мин. Определить:

1. Минимальное количество контролеров–кассиров n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = n_min.

2. Вероятность того, что в очереди  будет не более 4 покупателей.

Решение

Состояния СМО:

S₀ – все каналы свободны, очереди нет;

S₁ – один канал занят, очереди нет;

…

S_n – все каналы заняты, очереди нет;

S_n+1 –все каналы заняты, в очереди 1 заявка;

…

Стационарный процесс  возможен (очередь не будет расти до бесконечности), если

 , т.е. возьмем минимальное из допустимых .

Вычислим характеристики системы для n=3:

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₀.

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₁.

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₂.

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₃.

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₄ (1 покупатель в очереди).

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₅ (2 покупателя в очереди).

 

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₆ (3 покупателя в очереди).

 

- вероятность нахождения  системы в состоянии S₇ (4 покупателя в очереди).

 

- относительная пропускная способность  системы.

- абсолютная пропускная способность  системы.

- среднее число занятых  каналов.

- среднее число заявок  в очереди.

- среднее число заявок  в системе.

- среднее время нахождения  заявки в системе.

- среднее время нахождения  заявки в очереди.

 

Вероятность того, что в  очереди будет не более 4 покупателей равна

 

 

 

Индивидуальное задание 6. Сети. Потоки в сетях

Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в  скобках указана пропускная способность  дуги), если начальный поток w_o = 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Допустим, начальный  поток распределен следующим  образом (поток по дуге указан в скобках).

Найдем увеличивающий  путь.

Общая итерация: Шаг1. Источник   получает отметку ( ).

Шаг 2. Вершина получает метку , т.к. . Вершина не может быть помечена, т.к. . Вершина получает метку ( ), т.к. .

Шаг 3. Соседними вершинами с вновь помеченными являются вершины , , и Вершина получает метку ( ), т.к. .Вершина получает метку ( ), т.к. . Вершина получает метку ( ), т.к. . Вершина получает метку ( ), т.к. .

 

Шаг 4. Вершина не может быть помечена, т.к. и и .

 

Т.к. пометить вершину  не удалось, увеличивающего пути нет, и построенный поток является максимальным. Минимальный разрез ( ), где , состоит из дуг и обладает пропускной способностью .

Максимальный  поток равен 9.

.

На рис. 2 минимальный разрез показан пунктирной линией.

Рис.2