Контрольная работа по “Исследование операций в экономике ”.

 

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Белорусский Государственный университет информатики

и радиоэлектроники"

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по учебной дисциплине “Исследование операций в экономике ”.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       Минск 2012

Индивидуальное задание 1. Модели поведения потребителей и  производителей как  модели нелинейного  программирования

Задачи 1.20. Решить задачу потребительского выбора при функции полезности Стоуна. Найти функции спроса при заданных ценах p и доходе M. Определить предельные полезности благ и дохода. Для данной модели изобразить допустимое множество и кривые безразличия (n = 2). Определить эластичности благ по цене и по доходу. Выяснить, зависит ли в данной модели сумма денег, расходуемая на благо 1 от цены блага 2. Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте частные производные блага по цене при компенсации дохода. Какой должна быть компенсация дохода при увеличении цены блага 1 на Dp₁ ?

 

№	¯x1	¯x2	a1	a2	b1	b2	p1	p2	M	Dp1
1.20	2	3	4	1	0,5	0,5	10	2	70	5

 

Решение

Найдём величины спроса х и у на две разновидности товара. Решим задачу в общем виде.

Для того чтобы  набор {x_i} мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход M был больше - количество денег, необходимого для покупки этого набора. Поэтому можем добавить бюджетные ограничения:

,

.

Получим задачу, называемую моделью Стоуна:

.

Построим  функцию Лагранжа:

Возьмем частные  производные по всем переменным и  приравняем их нулю:

Преобразуем систему:

Разделим  первое уравнение на второе:

Выделим :

   

Решим полученную систему, тогда получим величины спроса:

и полезность оптимального набора:

 

Рассчитаем  предельные полезности благ и дохода, которые показывают прирост полезности при потреблении дополнительной единицы товара.

Для первого  товара:   _,

для второго:    _.

 

Для данной модели изобразим допустимое множество и кривые безразличия (n = 2) на рисунке 1.

Рис.1 Допустимое множество и кривые безразличия.

 

Допустимым  множеством потребителя будет часть  первой четверти координатной плоскости  , которая лежит ниже бюджетной линии. Уравнение бюджетной линии (красная линия) имеет вид:

Кривые безразличия  представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти. Для оптимального набора товаров уравнение имеет вид (график синего цвета):

А также построим график (зеленного цвета) для меньшего уровня полезности:

Определим эластичности благ по цене и по доходу. Для этого  запишем функции спроса в общем  виде:

Тогда можно  найти эластичности:

,

;

,

;

;

.

Значения эластичности благ получились отрицательными, это говорит о  том, что 1-й и 2-й товар являются взаимодополняемыми (однопроцентное увеличение цены одного товара вызывает снижение спроса на другой товар).

 

Выяснить, зависит  ли в данной модели сумма денег, расходуемая  на благо 1 от цены блага 2 .

Да зависит, так как в формулу спроса блага 1 входит цена блага 2:

 

 

Используя уравнение  Слуцкого, рассчитайте частные производные  блага по цене при компенсации  дохода.

Используя уравнение Слуцкого, рассчитаем частные производные  блага по цене при компенсации  дохода в оптимальной точке.

,

,

,

.

Так как

,

,

=> товары высокого качества

=> товары высокого качества

 

тогда получаем, что частные производные  блага по цене при компенсации  дохода в оптимальной точке равны:

,

,

 

 

 

Найдём  необходимый размер компенсации  дохода при увеличении цены блага 1 на ден.ед. Для этого умножим оптимальное количество первого блага на разность повышения цены Dp₁. Тогда размер компенсации дохода будет равен:

 ден.ед.

 

 

 

 

Индивидуальное задание 2. Правила и схемы принятия решений в условиях неопределенности (теория игр)

 

Для отопления дома требуется 100 кг угля в случае мягкой зимы (j = 1), 150 кг – в случае холодной зимы (j = 2) и 200 кг при суровой зиме (j = 3). Соответственно у хозяина дома есть стратегии купить осенью 100, 150 или 200 кг угля по цене 10 р. за килограмм, а потом в случае необходимости докупать требуемое количество, но при холодной зиме цена поднимается до 15 р., а при суровой – до 20 р. за килограмм. Свести данную экономическую ситуацию к матричной игре в условиях неопределенности с учетом вероятностей мягкой, холодной и суровой зимы в размере 0,3; 0,5; 0,2 соответственно. Указать возможные шаги хозяина и его выигрыш в зависимости от зимней температуры.

 

Решение

Теперь  подсчитаем, сколько потратим рублей при выборе определенной стратегии с учетом зимней температуры. Составим матрицу расходов (табл.1).

 

 

Табл. 1

Стратегия хозяина
	1	2	3
	100*10	100*10+ 50*15	100*10+ 100*20
	150*10	150*10	150*10+ 50*20
	200*10	200*10	200*10

 

Или  (в тыс. руб.)

Табл. 2

Стратегия хозяина
	1	2	3
	1	1,75	3
	1,5	1,5	2,5
	2	2	2

 

Матрица доходов  в данном случае будет выглядеть  так

Табл. 3

Стратегия хозяина
	1	2	3
	-1	-1,75	-3
	-1,5	-1,5	-2,5
	-2	-2	-2

 

 

 

 

 

1. Используем  критерий максимакса дохода.

	1	2	3
	-1	-1,75	-3	-1
	-1,5	-1,5	-2,5	-1,5
	-2	-2	-2	-2

Следовательно, оптимальной по данному критерию является чистая стратегия  , т.е. следует купить 100 кг угля осенью.

 

2. Используем  критерий максимина дохода.

 

 

	1	2	3
	-1	-1,75	-3	-3
	-1,5	-1,5	-2,5	-2,5
	-2	-2	-2	-2

Следовательно, оптимальной по данному критерию является чистая стратегия  , т.е. следует купить 200 кг угля осенью.

 

 

3. Используем  критерий минимакса возможных потерь

Составим  матрицу рисков.

 

 

	1	2	3
	0	0,25	1	1
	0,5	0	0,5	0,5
	1	0,5	0	1

 

 

Следовательно, оптимальной по данному критерию является чистая стратегия  , т.е. следует купить 150 кг угля осенью.

 

 

4.   Используем критерий максимума  ожидаемого дохода

  Вероятности состояний погоды равны соответственно

().

Следовательно, оптимальной по данному критерию являются чистые стратегии , т.е. следует либо купить 100 кг либо 150 кг угля осенью.

 

 

5. Используем критерий минимума ожидаемого риска

 

Вероятности состояний спроса  равны соответственно

().

Следовательно, оптимальной по данному критерию являются чистые стратегии , т.е. следует либо купить 100 кг либо 150 кг угля осенью.

 

 

Индивидуальное  задание 3. Динамическое программирование

Задача 1 о распределении средств между предприятиями

Планируется деятельность  n промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: s₀ . Размеры вложений в каждое предприятие кратны Dx . Средства x , выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль f _i (x), i = 1,2. … n.

Прибыль f _i (x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.

Определить, какое количество средств нужно  выделить каждому предприятию, чтобы  суммарная прибыль была наибольшей.