Автор: Пользователь скрыл имя, 12 Августа 2013 в 11:33, контрольная работа
Индивидуальное задание 1. Модели поведения потребителей и производителей как модели нелинейного программирования
Задачи 1.20. Решить задачу потребительского выбора при функции полезности Стоуна. Найти функции спроса при заданных ценах p и доходе M. Определить предельные полезности благ и дохода. Для данной модели изобразить допустимое множество и кривые безразличия (n = 2). Определить эластичности благ по цене и по доходу. Выяснить, зависит ли в данной модели сумма денег, расходуемая на благо 1 от цены блага 2. Используя уравнение Слуцкого, рассчитайте частные производные блага по цене при компенсации дохода. Какой должна быть компенсация дохода при увеличении цены блага 1 на Dp1 ?
Задача 1
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
f1(x) |
5 |
9 |
12 |
14 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
f2(x) |
7 |
9 |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
22 |
25 |
f3(x) |
6 |
10 |
13 |
15 |
16 |
18 |
21 |
22 |
25 |
s0 = 9, Dx = 1, n= 3
Решение
1) Рассмотрим вначале поставленную задачу как многошаговую. Будем рассматривать эффективность вложения средств на одном, скажем, 1-м предприятии, далее – на двух предприятиях (первом и втором), затем – на трех предприятиях (первом, втором и третьем).
Пусть хi усл. ден. ед. – объем капиталовложений в i-й филиал ( ). Тогда задача состоит в определении наибольшего значения функции
при условии .
Рекуррентное соотношение Беллмана в нашем случае приводит к следующим функциональным уравнениям:
В соответствии с вычислительной схемой динамического программирования рассмотрим сначала случай n = 1, т. е. предположим, что все имеющиеся средства выделяются на реконструкцию и модернизацию одного предприятия. Обозначим максимально возможная прибыль от вложений в это предприятие, соответствующая выделенной сумме х. Тогда при n = 1:
(1)
По формуле (14) находим (табл. 1).
Т а б л и ц а 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
f1(x) |
5 |
9 |
12 |
14 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
Предположим теперь, что средства распределяются между двумя филиалами: n = 2. Обозначим максимально возможная прибыль от вложений в это предприятие, соответствующая выделенной им сумме х. Тогда при n = 2:
(2)
Очередная задача – найти значения функции (2) для допустимых комбинаций С и x. Расчеты и их результаты приведены в табл. 2.
Т а б л и ц а 2
c/x |
x |
|||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|||
1 |
0+5=5 |
7+0=7 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
7 |
1 |
2 |
0+9=9 |
7+5=12 |
9+0=9 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
12 |
1 |
3 |
0+12=12 |
7+9=16 |
9+5=14 |
11+0=11 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
16 |
1 |
4 |
0+14=14 |
7+12=19 |
9+9=18 |
11+5=16 |
13+0=13 |
- |
- |
- |
- |
- |
19 |
1 |
5 |
0+15=15 |
7+14=21 |
9+12=21 |
11+9=20 |
13+5=18 |
16+0=16 |
- |
- |
- |
- |
21 |
1,2 |
6 |
0+18=18 |
7+15=22 |
9+14=23 |
11+12=23 |
13+9=22 |
16+5=21 |
19+0=19 |
- |
- |
- |
23 |
2,3 |
7 |
0+20=20 |
7+18=25 |
9+15=24 |
11+14=25 |
13+12=25 |
16+9=25 |
19+5=24 |
21+0=21 |
- |
- |
25 |
1,3,4,5 |
8 |
0+24=24 |
7+20=27 |
9+18=27 |
11+15=26 |
13+14=27 |
16+12=28 |
19+9=28 |
21+5=26 |
22+0=22 |
- |
28 |
5,6 |
9 |
0+27=27 |
7+24=31 |
9+20=29 |
11+18=29 |
13+15=28 |
16+14=30 |
19+12=31 |
21+9=30 |
22+5=27 |
25+0=25 |
31 |
1,6 |
В каждую клетку таблицы вписываем значение суммы берем из таблицы условия, берем из табл. 1.
В два последних столбца таблицы вписываем максимальная по строке прибыль и соответствующую ей сумму средств, выделяемую третьему филиалу .
Предположим теперь, что средства распределяются между тремя филиалами: n = 3. Обозначим максимально возможная прибыль от вложений в это предприятие, соответствующая выделенной им сумме х. Тогда при n = 3:
(3)
Очередная задача – найти значения функции (3) для допустимых комбинаций С и х Расчеты и их результаты приведены в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
c/x |
x |
|||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|||
1 |
0+7=7 |
6+0=6 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
7 |
0 |
2 |
0+12=12 |
6+7=13 |
10+0=10 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
13 |
1 |
3 |
0+16=16 |
6+12=18 |
10+7=17 |
13+0=13 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
18 |
1 |
4 |
0+19=19 |
6+16=22 |
10+12=22 |
13+7=20 |
15+0=15 |
- |
- |
- |
- |
- |
22 |
1,2 |
5 |
0+21=21 |
6+19=25 |
10+16=26 |
13+12=25 |
15+7=22 |
16+0=16 |
- |
- |
- |
- |
26 |
2 |
6 |
0+23=23 |
6+21=27 |
10+19=29 |
13+16=29 |
15+12=27 |
16+7=23 |
18+0=18 |
- |
- |
- |
29 |
2,3 |
7 |
0+25=25 |
6+23=29 |
10+21=31 |
13+19=32 |
15+16=31 |
16+12=28 |
18+7=25 |
21+0=21 |
- |
- |
32 |
3 |
8 |
0+28=28 |
6+25=31 |
10+23=33 |
13+21=33 |
15+19=34 |
16+16=32 |
18+12=30 |
21+7=28 |
22+0=22 |
- |
34 |
4 |
9 |
0+31=31 |
6+28=34 |
10+25=35 |
13+23=36 |
15+21=36 |
16+19=35 |
18+16=34 |
21+12=33 |
22+7=29 |
25+0=25 |
36 |
3,4 |
В каждую клетку таблицы вписываем значение суммы берем из таблицы условия, берем из табл. 2.
В два последних столбца таблицы вписываем максимальная по строке прибыль и соответствующую ей сумму средств, выделяемую третьему филиалу .
На основе расчетных таблиц (табл.1–3) составляем сводную таблицу (табл. 4).
Т а б л и ц а 4
С |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
1 |
7 |
0 |
7 |
2 |
2 |
9 |
1 |
12 |
1 |
13 |
3 |
3 |
12 |
1 |
16 |
1 |
18 |
4 |
4 |
14 |
1 |
19 |
1,2 |
22 |
5 |
5 |
15 |
1,2 |
21 |
2 |
26 |
6 |
6 |
18 |
2,3 |
23 |
2,3 |
29 |
7 |
7 |
20 |
1,3,4,5 |
25 |
3 |
32 |
8 |
8 |
24 |
5,6 |
28 |
4 |
34 |
9 |
9 |
27 |
1,6 |
31 |
3,4 |
36 |
Теперь распределяем 9 усл. ден. ед. между тремя предприятиями так, чтобы суммарный прирост товарооборота достиг максимальной величины. Из табл. 4 видно, что наибольшую прибыль при распределении 9 усл. ед. ( ) составляет 36 усл. ден. ед. ( ).
Для этого нужно распределить средства следующим образом.
1) Третьему филиалу выделить 4 усл. ед. ( ), а остальным двум 9 – 4 = 5 усл. ед. Из той же таблицы видно, что оптимальное распределение оставшихся 5 усл. ед. ( ) между двумя филиалами обеспечит общий прирост товарооборота на сумму 21 усл. ед. ( ) при условии, что второму филиалу выделить 2 усл. ед. ( ), а первому 5 - 2 = 3 усл. ед.
Аналогично найдем еще три варианта:
2) Третьему филиалу выделить 4 усл. ед., второму – 1 усл.ед., первому – 4 усл.ед.;
3) Третьему филиалу выделить 3 усл. ед., второму – 3 усл.ед., первому – 3 усл.ед.;
4) Третьему филиалу выделить 3 усл. ед., второму – 2 усл.ед., первому – 4 усл.ед.;
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
f1(x) |
5 |
9 |
12 |
14 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
f2(x) |
7 |
9 |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
22 |
25 |
f3(x) |
6 |
10 |
13 |
15 |
16 |
18 |
21 |
22 |
25 |
Индивидуальное задание 4. Марковские цепи
Задача 4.20. Сформировать матрицу переходных вероятностей цепи, проверить цепь на регулярность и найти финальные вероятности состояний.
Информация о работе Контрольная работа по “Исследование операций в экономике ”.