Эконометрика

Задание №2

    По  десяти крупнейшим предприятиям получены данные, характеризующие зависимость  объема чистого дохода (Y) от экспорта (Х₁), импорта (Х₂) и себестоимости производимой продукции (Х₃). Эти данные отражены в таблице 1.

    Табл. 1

Данные  по крупнейшим предприятиям    

Требуется:

1. С помощью корреляционного анализа осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2. Рассчитать параметры модели.
3. Для характеристики модели определить: линейный коэффициент множественной корреляции; коэффициент детерминации; средние коэффициенты эластичности; бета-, дельта – коэффициенты. Дать их интерпретацию.
4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии (F-критерий Фишера).
5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6. Произвести проверку выполнения условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК).
7. Рассчитать и построить точечный прогноз и интервальные прогнозы результирующего показателя на два шага вперёд.
8. Отразить результаты в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов и графики.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели

    Для выбора факторных признаков используем коэффициент корреляции, и результат  представим в таблице 2.

    Табл.2

Корреляционный анализ данных

 

    Анализ  матрицы коэффициентов в парной корреляции показывает, что самая  тесная связь Y c Х₂, т.к. rx₂y = 0,7510. Так как , то из модели нужно убрать либо Х₁, либо Х₂.

     ;       > ;       > .    

    Т.е. Y и Х₂ наиболее тесно связаны, следовательно из модели нужно убрать переменную Х₁. Таким образом заменим Х₂ на Х₁ и Х₃ на Х₂. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Параметры модели

    Модель  имеет вид (1).

    

          (1)

    Параметр  модели b находится по формуле (2).

, где  ,   (2)

     ,    ,   ,  ,

.

.

    Модель  имеет вид (3).

    

   (3) 
 
 
 
 
 
 
 

    3. Коэффициенты модели

    Для определения тесноты связи предварительно вычисляются коэффициенты корреляции по формулам (4) и (5) соответственно, показывающие степень связи между двумя переменными.

  (4)

  (5)

     ,    

    Коэффициент корреляции показывает силу и направление  линейной связи между переменными. Значение коэффициента корреляции находится  в промежутке от -1 (в случае отрицательной  связи) до +1 (в случае положительной связи). Если коэффициент корреляции равен 0, то переменные между собой независимы, чем ближе ±1, тем связь существенней.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

    После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции по формуле (6).

     (6)

Этот  коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в  большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

    

    Коэффициент детерминации – это показатель, на основе которого возможно сопоставление различных регрессионных уравнений, который вычисляется по формуле (7).

     (7)

    

    Величина  называется скорректированным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. Скорректированный коэффициент детерминации находится по формуле (8).

   (8)

    

    Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью коэффициента эластичности, который рассчитывается по формуле (9).

    (9)

        

    Частный коэффициент эластичности Э_j показывает насколько процентов изменяется результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака остается неизменным.

    Определенные  выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета бета-коэффициентов, которые рассчитываются по формуле (10).

    

  (10)

    

,  

где S_хi, S_у – среднеквадратические ошибки выборки величин х_i и у. 

        

      

    Бета-коэффициент  показывает, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.

    Указанные коэффициенты позволяют упорядочить  факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную. Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта – коэффициента, который вычисляется по формуле (11).

    (11)

     ,    . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Оценка  надежности уравнения  регрессии

    Для того чтобы оценить надежность, необходимо определить F-критерий Фишера и критерий Дарбина-Уотсона.

    F-критерий Фишера вычисляется по формуле (12).

    

       (12)

     ,  

    Т.к. F_расч>F_табл., то гипотезу об отсутствии линейной связи отвергаем. Далее по формуле (13) находим критерий Дарбина-Уотсона.

   (13)

    Здесь возможно 4 ситуации:

1. d₂<d_расч<2 – гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;
2. d_расч<d₁ – гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;
3. d₁<d_расч<d₂ – гипотеза не принимается и не отвергается (ситуация неопределённости);
4. d_расч.>2 – наличие отрицательной автокорреляции и перед входом в таблицу делается замена по формуле (14).

   d’=4 – d_расч     (14)

      d₁=1,08 и d₂=1,36.

    Так как d₁<d_расч<d₂, возникла ситуация неопределённости, то гипотеза не принимается и не отвергается.

    Если  же ситуация окажется неопределенной принимают другие критерии, в частности можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции, вычисляемой по формуле (15).

   

       (15)

    Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду  расчетные значения первого коэффициента автокорреляции сопоставляются с табличным (критическим) для 5% или 1% уровня значимости (вероятность допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).

    Если  расчетное значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Иначе, когда  расчетное значение больше табличного, то делается вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

               

    Т.к. r_1расч < r_1табл, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принята. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Оценка статической  значимости коэффициентов  уравнения множественной  регрессии

    Оценка  производится с помощью t-критерия Стьюдента по формуле (16).

   (16)

,         

где - стандартное среднеквадратическое отклонение коэффициента регрессии b_i; 

      a_ij – диагональный элемент матрицы (Х^ТХ)^-1, .

     ,  , .

     ,     .

     . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Проверка выполнения  условий для получения  «хороших»

    оценок  МНК

1. M(E_i) = 0
2. D(E_i) = =const