Труд и капитал в производственной функции

       

     Рис. 5. Изокоста и изокванта

     Совместив изокванты и изокосты, можно определить оптимальную (минимизирующую затраты) комбинацию факторов производства: оптимальное положение определяется в точке, где изокванта касается изокосты. В этой точке наклон изокванты и изокосты совпадает.

     Если  соединить точки касания изоквант и изокост, то получим линию роста, или «путь развития» предприятия.

     Расширение  производства возможно различными путями. В краткосрочном периоде количество ресурса К фиксировано и предприятие может расширять производство лишь за счет увеличения количества переменного ресурса L. При данном условии достижение оптимального положения невозможно, рост производства возможен только при более высоких затратах.  
В долгосрочном периоде все ресурсы являются переменными, и поэтому не существует предела расширению производства. Основная задача здесь состоит в выборе оптимального пути роста, который определяется множеством точек касания соответствующих изоквант и изокост. Если производственная функция однородна, оптимальный путь роста определяется лучом, проходящим из начала координат, наклон которого определяет оптимальное соотношение К/L и зависит от соотношения цен.

2.2. Производственная функция Кобба-Дугласа. Закон убывающей предельной производительности

     Наиболее  простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемыПроизводственная функция Кобба-Дугласа — самая известная из всех производственных функций неоклассического типа — была открыта в 20-х годах ХХ века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. Рассмотрим производственную функцию, оцененную Дугласом на основе данных по обрабатывающей промышленности США.

,

     где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

     K, L- капитал и труд;

       -коэффициенты эластичности объема  производства по затратам капитала и труда.

     Если  = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

     На  основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

     1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда ( ).

     2)     непропорционально возрастающую ( );

     3)     убывающую .

     Рассмотрим  короткий период деятельности фирмы, в  котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 4 (кривая ТР_н).

     В краткосрочном периоде действует  закон убывающей предельной производительности.

     Закон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства, если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может изменить границы действия закона.

     Если  капитал является фиксированным  фактором, а труд – переменным, то фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

     Предельная  производительность труда (предельный продукт труда – MP_L) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда

      ,

     т.е. прирост производительности к совокупному продукту (TP_L)

      .

     Аналогично  определяется предельный продукт капитала MP_K.

     Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TP_L), среднего (АP_L) и предельного продуктов (MP_L) (рис. 6).

     В движении кривой общего продукта (ТР) можно  выделить три этапа. На этапе 1 она  поднимается вверх ускоряющимися  темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.

     

     Рис. 6. Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

     На 3 этапе, когда количество рабочих  становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное значение, поэтому ТР начинает снижаться.

     Конфигурация  кривой среднего продукта АР также  обусловлена динамикой кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет большим, чем средняя производительность (АР_L) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

 

Глава 3. Труд и капитал в производственной функции. Практическое применение

3.1. Моделирование производственной  функции малого  бизнеса в регионах РФ

     Производственная  функция является математической моделью  процесса производства продукции в данной экономической системе, она выражает устойчивую, закономерную количественную зависимость между объемными показателями ресурсов и оборота. Производственные функции лежат в основе моделирования деятельности самых разнообразных производственных структур и систем, от отдельных предприятий и организаций до регионов, отраслей и экономики страны в целом.

     Актуальность  построения производственных функций  для малого бизнеса обусловлена необходимостью получения информации о предполагаемой динамике изменения объемов производства, а также факторах, оказывающих наиболее существенное влияние на формирование оборота малых предприятий.

     К настоящему времени за рубежом и  в нашей стране накоплен большой  опыт построения производственных функций  для различных объектов.

     Классический  метод построения производственной функции по статистическим данным основывается на выборе двухфакторной производственной функции с использованием таких факторов, как труд и капитал. Такой подход применим, по мнению автора, и для малых предприятий.

     Проведенный анализ показал, что производственные функции могут быть построены для предприятий малого бизнеса отдельных регионов Российской Федерации (областей и республик). В субъектах Российской Федерации присутствуют малые предприятия различных отраслей, внутри регионов находятся их рынки сбыта, малый бизнес, как правило, имеет замкнутый цикл внутри соответствующего региона, вопросы оказания поддержки развитию малого бизнеса решаются, в основном, на уровне регионов. Наиболее приемлемыми факторами, определяющими оборот малых предприятий, являются затраты на заработную плату всех работников, занятых на малых предприятиях (как характеристика затрат труда) и инвестиции в основной капитал малых предприятий.

     Итоги расчетов показали, что лучше всего  аппроксимируют исходные данные линейная и степенная производственные функции. Вместе с тем, линейная функция не всегда применима для регионов с небольшим оборотом малых предприятий. Кроме того, в линейной функции величина стандартной ошибки намного больше аналогичного показателя степенной функции.

     Поэтому, по мнению автора, наиболее приемлема следующая производственная функция:

       y(x_1,x₂) =  7.766*x1^{0 139}    x  х2 ⁰-⁹³⁰    ,

     где у - оборот малых предприятий по региону за год. млрд руб.; х₁ -инвестиции в основной капитал малых предприятий за год, млрд руб.; х₂ - затраты на заработную плату работников малых предприятий по региону за год, млрд. руб.

     Проверка  качества полученной модели, проведенная  на основе регрессионного анализа, показала, что полученная зависимость является тесной, и значения коэффициентов детерминации r² = о,925 и корреляции r = 0,962 близки к единице. Дисперсионный анализ подтвердил, что уравнение значимо, поскольку табличное значение критерия Фишера-Снедекора (F_табл =3,15) значительно меньше значения, рассчитанного для полученной функции (F_набл =1172,41)

     Таким образом, в процессе исследования было доказано наличие зависимости между объемами производства малых предприятий региона и такими факторами как инвестиции в основной капитал и затраты на заработную плату всех работников малых предприятий по региону за год. Полученная производственная функция в полной мере аппроксимирует исходные данные на всем диапазоне их изменений.

     На  основе полученной производственной функции  были построены изокванты, отражающие зависимость между факторами, входящими в производственную функцию при постоянном значении самой функции. Для построения таких изоквант была произведена группировка регионов Российской Федерации в зависимости от значений оборота малых предприятий в конкретных регионах.

     Полученные  модели позволяют сделать вывод  о возможности существенного увеличения объемов производства малого бизнеса при достаточно ограниченных инвестициях и росте затрат на заработную плату — за счет эффекта масштаба во всех регионах Российской Федерации. Это должно обеспечить совершенствование структуры управления регионами (особенно важное в условиях выхода из кризиса), обеспечение занятости населения, повышение эффективности сектора малого бизнеса.

3.2. Проблемы построения производственных функций в российской экономике

     Исследования  проблем построения производственных функций для российской (а до этого - советской) экономики имеют более чем тридцатилетнюю историю. До этого проведение подобных работ сдерживалось недостаточным уровнем развития средств вычислительной техники и состоянием советской экономической статистики. За рубежом интерес к данной проблематике стал проявляться специалистами в области анализа советского экономического роста тогда, когда работы по построению производственных функций для развитых рыночных экономик стали массовыми. Исследователей занимали, главным образом, проблемы прогнозирования перспектив советского экономического роста. Здесь же отмечалась и специфика советской экономики как в связи с доминированием в ней плановых начал, так и в связи со скудностью и недостоверностью доступных статистических данных.

     Попытки построения агрегированной производственной функции для российской переходной экономики наталкиваются на серьезные трудности, обусловленные спецификой переходной экономики как объекта исследования. Возникает необходимость адекватного учета этой специфики на уровне используемой методики анализа. В чем состоит эта специфика и какие способы можно предложить для ее адекватного учета?