Аграрное общество

хорошо известной  биологической моделью «хищник - жертва» (система 

Лотки-Вольтерра), где в роли «хищника» выступает  охотник, а «жертвой» 

является объект его охоты (к этой модели редуцируется система (2), если

учесть  однородность  социальной  структуры общества  охотников-

собирателей  и  особенности  их  ресурсопользования).  Система  Лотки-

Вольтерра  состоит  из  двух  дифференциальных  уравнений  следующего

вида:

где X - численность популяции «хищников»;

Y - численность популяции «жертв» в рассматриваемом ареале; 

α·X·Y -  скорость  рождения «хищников» (мальтузианский  рост  при

наличии ресурсной  базы Y);

A·X  - смертность «хищников»;  

γ·Y  - скорость рождения «жертв» (считается, что их пищевая база не

ограничена);

β·X·Y - скорость гибели «жертв» за счет их истребления «хищниками»

(считается, что  это единственный вид смертности  «жертв»). 

Так выглядит численное решение системы (4)-(5) в пакете MathCAD. Рассчитываются два решения H и L для разных начальных условий.

 
 

- начальные условия

        

у0-численность  жертв

у1-численность  хищников

 

 

 
 

 
 
 

 
 

Рис 3, 4. Зависимость численности «хищников» X(t) и «жертв» Y(t) от  времени при                   различных начальных условиях.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 5. Фазовый  портрет системы «хищник - жертва» 

Решение  уравнений (3)-(4)  имеет вид замкнутых циклических

траекторий на фазовой плоскости (X,Y). Эти траектории представлены на

рис. 3, 4.  Временные зависимости X(t)  и Y(t)  представлены  на  рис.5,  где

, . Видно, что численность популяции охотников - собирателей колеблется вокруг некоторого среднего значения , определяемого отношением  коэффициентов,  отражающих  скорости  рождения  и  гибели «жертв».  Поскольку  охотники  и  собиратели  потребляют  то,  что произведено  в  природе  без  их  участия,  численность  их  популяций определяется  внешними  условиями,  повлиять  на  которые  они  не  в состоянии . 

2. Аграрное общество 

Аграрное  общество  относится  к  другому  типу  социальных  систем.

Оно  основано  не  на  присваивающем,  а  на  производящем  хозяйстве – 

выращивании культурных растений и разведении домашнего  скота. Это 

обусловило  переход к оседлому  образу  жизни.  Освоение  технологий

хранения сельскохозяйственной продукции сделало возможным  создание

запасов пищевых  ресурсов. Это, с одной стороны, повысило устойчивость

и "живучесть" аграрных обществ, обеспечило возможность  специализации

и разделения труда, но с другой стороны, привело к  имущественному и 

социальному  расслоению:  тот,  кто  контролировал  пищевые  запасы,

приобретал  власть  в  обществе. Такое общество, как и большинство доиндустриальных обществ, имеет ярко выраженную сословную структуру с четкими социальными границами; основными социальными группами в нем являются землевладельцы и сельскохозяйственные производители - крестьяне.

Для всех рассматриваемых  далее систем считаются выполненными следующие условия:

1. Основная часть  населения напрямую занята производством  сельскохозяйственной продукции.  Доля населения, занятого производством  орудий труда, торговлей, наукой, искусством и т.п., относительно мала и учитывается косвенным образом.

2. Натуральное  хозяйство и прямой обмен продуктами  являются преобладающими.

3. Система замкнута, то есть такими явлениями, как  иммиграция и эмиграция, изменение  границ, внешние войны, можно пренебречь на отрезке времени, на котором ведется моделирование, либо определить их как внешние параметры. 

1) Базовая модель демографического цикла 

 Теория демографических  циклов изучает процессы изменения  численности населения в условиях  ограниченности природных ресурсов. Историками показано наличие демографических циклов в развитии многих географических регионов и схожие модели их течения. В условиях изобилия ресурсов при высоком потреблении население региона быстро растет. Затем рост замедляется, стабилизируясь вблизи асимптоты, соответствующей уровню минимального биологического потребления. Сложившееся состояние является неустойчивым: рост социального напряжения, приводящий к смутам, восстаниям и войнам, всеобщий голод и массовые эпидемии становятся причинами резкого падения численности населения – демографической катастрофе. Это снижает экологическую нагрузку на природу региона, увеличивает объем ресурсов, приходящихся на душу населения. После социальной стабилизации улучшаются условия жизни, и начинается рост населения в новом демографическом цикле.

В изложенной ниже модели демографических циклов рассматривается  только одна социальная группа – крестьяне. Тем не менее, построенная на основе небольшого числа предположений, модель, как будет показано, может в  определенных условиях достаточно правдоподобно описывать реальную демографическую динамику.

Система (2)  в  случае  k=1  и в предположении,  что инвестиции  в

крестьянском  хозяйстве  пренебрежимо  малы  по  сравнению  с 

потреблением, преобразуется  к следующему виду:

                

          (5)

Функция прироста населения D(x) строится из следующих соображений:

D(x) положительна при значениях x больших некоторого значения и отрицательна при меньших x. То есть – критическое значение доходов производителя, при котором рождаемость равна смертности;

D(x) выходит на насыщение при x → ∞. Это обусловлено как биологическими, так и социальными факторами;

D(x) → − ∞ при x → 0, поскольку в голод смертность может быть сколь угодно большой.

Для простоты предполагается, что D(x) монотонно возрастает с увеличением x. В модели принято:

                                              D(x) = r ∙(1 − /x).                      (6)          

Производственная  функция имеет вид:

                                             F(X,N) = f·R(N)·N,                         (7)

где f – производительность труда одного крестьянина с единицы площади обрабатываемой земли, R(N) – площадь земли, обрабатываемой одним крестьянином. Считая общую площадь пригодной к обработке земли постоянной, а урожайность – всюду одинаковой, получим:

                                                                (8)

где – максимальная площадь, которую способен обрабатывать один крестьянин. Производительность труда f ограничена и, при нормальных условиях жизни постоянна. Ухудшение условий жизни (снижение удельных накоплений x) ниже некоторого критического порога приводит к росту социального напряжения, обретающего формы открытых конфликтов. При этом социальная, военная и политическая нестабильность вкупе с эпидемиями и голодом делают невозможным нормальное ведение хозяйства и приводят к снижению производительности труда. Такое поведение функции f(x) можно отразить, например, с помощью выражения:

                                 

                                  (9)

Соответственно, система (2) приобретает следующий  вид:

                                                               

Здесь принято, что функция потребления близка к линейной, т.е. Q(x) = Ax +B. 

Численное решение системы (10) в пакете MathCAD.

 
 
 

- начальные условия 
 
 
 

            - площадь земли, обрабатываемой одним крестьянином

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 6. Фазовый портрет системы в координатах (X,N)

    Характеризует зависимость численности крестьян

                          от их накоплений. 

 

- средние удельные  накопления крестьян 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

    Рис 7. Периодические колебания численности N,

    суммарных накоплений X и удельных накоплений x 
 

  

Рис 8. Фазовый портрет системы в координатах (x,N)

Характеризует зависимость численности крестьян от

              их средних удельных накоплений. 
 
 

При определенных значениях параметров система имеет решение с

устойчивым  состоянием типа «предельный цикл», то есть зависимости 

и    со  временем  приобретают вид устойчивых  периодических

колебаний.  На  рисунках 6-8  приведены фазовые траектории

системы (10), соответствующие этому случаю. 

2) Базовая модель аграрного общества с преобладанием государственной собственности на землю 

Модель является усложненной версией модели "феодал-производитель" и строится следующим образом. Предполагается, что общество состоит из производителей аграрного продукта (крестьян) и военно-административной элиты, стоящей на службе у государства и живущей за счет изъятия продукта на собственные нужды у производителей. Произведенный продукт расходуется на потребление как непосредственно (продукты питания), так и в преобразованной форме (ремесленная продукция, услуги и т.п.). Кроме того, государство может расходовать определенные средства на стимулирование и повышение эффективности сельскохозяйственного производства (что сказывается на появлении зависимости производительности крестьян от экономического состояния государства), а также тратит определенные средства на удержание производителей в повиновении, чтобы обеспечить себе возможность дальнейшего изъятия продукта.

В соответствии с (2) две выделенные группы - крестьяне и государство - характеризуются в модели величинами , , , . Для удобства обозначим: X= , N= , Y= = / . Таким образом, состояние государства характеризуется величиной X – суммарным накоплением материальных благ (государственная казна), выраженным в единицах обобщенного продукта. Крестьяне характеризуются величинами Y и N, где Y - средние накопления материальных благ у одного крестьянина и N - численность крестьян в рассматриваемом аграрном государстве. При сделанных предположениях производство и перераспределение продукта, а также демографические процессы в обществе могут быть в соответствии с (2) описаны следующей системой дифференциальных уравнений: