Устойчивость систем автоматического управления

align="justify">     Если изменять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексной плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение. В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой w, то p = jw, а характеристический полином принимает вид:

D(jw) = a₀ (jw - p₁) (jw - p₂) ... (jw - p_n).

     При этом концы векторов jw - p_i будут находиться на мнимой оси (рис. 4.2.1в). Если менять w от -∞ до +∞, то каждый вектор jw - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +p для левых и -p для правых корней (рис. 4.2.1г).

     Характеристический  полином можно представить в  виде

D(jw) = |D(jw)| exp(j arg(D(jw))),

где  |D(jw)| = a₀ |jw-p₁| |jw-p₂| ... |jw-p_n|,  arg(D(jw)) = arg(jw-p₁) + arg(jw-p₂) + ... + arg(jw-p_n).

     Пусть из n корней m - правые, а n-m - левые, тогда  угол поворота вектора D(jw) при изменении w от -∞ до ∞ равен

 = (n-m)p - mp,

или при изменении w от 0 до +∞:

  = (n - 2m) (p/2).                                        (4.2.1)

     Отсюда  вытекает правило: изменение аргумента  вектора D при изменении частоты от -∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на p, а при изменении частоты от 0 до +∞ эта разность умножается на p/2.

     Это и есть принцип аргумента. Он положен  в основе всех частотных критериев  устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

     Критерий  устойчивости Михайлова. Так как для устойчивой системы число правых корней m = 0, то угол поворота вектора D(jw) составит

= np/2.                                            (4.2.2)

     

Рис. 4.2.2.

     Система будет устойчива, если вектор D(jw) при изменении частоты от 0 до +∞ повернется на угол np/2. При этом конец вектора опишет кривую, называемую годографом Михайлова. Для построения годографа выражение (4.1.6) записывается с заменой p на jw в форме:

a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n = D(jw ) = P(w) + jQ(w),

где P(w) - вещественная часть, как сумма всех членов характеристического уравнения, содержащих j в четных степенях, Q - мнимая часть выражения. Годограф начинается на положительной полуоси при D(0) = a_n, и, при изменении частоты от 0 до ∞, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, с уходом в бесконечность в n-ом квадранте (рис. 4.2.2а).

     Если  это правило нарушается (например, число проходимых кривой квадрантов не равно n, или нарушается последовательность прохождения квадрантов (рис. 4.2.2б)), то такая система неустойчива - это и есть необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.

     Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой системы. Если кривая проходит вблизи начала координат, то система находится вблизи границы устойчивости и наоборот.

     

Рис. 4.2.3.

     Критерий  устойчивости Найквиста. Этот критерий основан на связи свойства устойчивости замкнутой системы с формой АФЧХ разомкнутой устойчивой системы. Разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи (рис. 4.2.3). Исследование разомкнутой системы проще, чем замкнутой, и его можно производить экспериментально.

     Передаточная  функция W_pc разомкнутой системы:

W_pс(jw) = K_pc(jw)/H_pc(jw),

с углом поворота фазы в соответствии с выражением (4.2.2):

D arg H_рс(jw) = np/2,   0 ≤ w ≤ ∞.                                     (4.2.3)

     АФЧХ замкнутой системы описывается выражением:

W_зс(jw)= W_pc(jw) /[1+ W_pc(jw)].                                     (4.2.4)

      Обозначим знаменатель этого выражения через W₁(jw):

W₁(jw)=1+W_pc(jw)=1+K_pc(jw)/H_pc(jw)=H(jw)/H_pc(jw),               (4.2.5)

где H(jw) = K_pc(jw) + H_pc(jw), характеристический полином замкнутой системы при р=jw.

     В соответствии со свойствами передаточных функций порядок полинома Н(р) не превышает порядка полинома H_pc(p), т.к. H(p)=K_pc(p)+H_pc(p), а порядок полинома K_pc(p) меньше порядка полинома H_pc(p). Поэтому критерий Михайлова для замкнутой системы соответствует выражению:

D arg H(jw) = (n - 2m) (p/2),   0 ≤ w ≤ ∞.                               (4.2.6)

где m - число правых корней системы, имеющей в замкнутом состоянии характеристический полином Н(р)=0.

     Из (4.2.5) следует:

D arg W₁(jw) = D arg H(jw) - D arg H_pc(jw).

     C учетом (4.2.3):

D arg W₁(jw) = (n - 2m) (p/2) - np/2 = -mp.                               (4.2.7)

     В устойчивой замкнутой системе правых корней в характеристическом уравнении нет, т. е. m=0, а, следовательно, условием устойчивости замкнутой системы будет:

D arg W₁(jw) = 0.                                                    (4.2.8)

     Условие (4.2.8) выполняется только тогда, когда кривая W₁(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает начала координат комплексной плоскости. Действительно, только в этом случае результирующий поворот вектора W₁(jw) при изменении w от 0 до ∞ будет равен нулю, так как возрастание угла j(w), обусловленное движением вектора W₁(jw) в положительном направлении (против часовой стрелки), будет компенсироваться таким же убыванием j(w), обусловленным движением вектора W₁(jw) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

     Как видно из (4.2.5), переход на комплексной плоскости от годографа вектора W₁(jw) к годографу вектора АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) осуществляется сдвигом кривой W₁(jw) влево на -1, так как W_pc(jw) = W₁(jw) -1. С учетом этой операции, получаем следующую формулировку амплитудно-фазового критерия устойчивости Найквиста: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы W_pс(jw) при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) (рис. 4.2.4, годограф 2).

     

Рис. 4.2.4.

     Более общая формулировка критерия Найквиста  относится к системам, имеющим так называемую АФЧХ второго рода (рис. 4.2.4, годограф 1), когда W_pс(jw) пересекает (неограниченное количество раз) вещественную ось левее точки Re W_pc(w) = -1. Будем считать положительным переход годографа через вещественную ось, если он совершается сверху вниз, и отрицательным, если он совершается снизу вверх. Для таких годографов критерий Найквиста формулируется в следующем виде: линейная динамическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если при изменении частоты от 0 до +∞ разность между числом положительных переходов годографа АФЧХ разомкнутой системы через участок вещественной оси (-1; -∞) и числом отрицательных переходов равна нулю. Из этого условия видно, что система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ в форме кривой 1 на рис. 4.2.4, устойчива и в замкнутом состоянии.

     

Рис. 4.2.5.

     На  рис. 4.2.5а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.2.5б - замкнутая САУ неустойчива.

<