Система автоматического управления

     

Рис. 3.5.16.

     Переходная  характеристика и весовая функция:

H(t) = k(1-(T₁/(T₁-T₂)) exp(-t/T₁) + (T₂/(T₁-T₂)) exp(-t/T₂)) 1(t).

h(t) = (k/(T₁-T₂)) (exp(-t/T₁) – exp(-t/T₂)) 1(t).

     Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₁ и Т₂. Амплитудная частотная характеристика:

A(w) = k/[

].

      Фазовая характеристика:  j(w) = - argtg wT₁ – argtg wT₂.

     

Рис. 3.5.17.

     Колебательное звено. При r<1 корни полинома знаменателя W(p) апериодического звена второго порядка комплексно сопряженные. Переходная характеристика представляет собой выражение, характеризующее затухающий колебательный процесс с затуханием r (возможные значения от 0 до 1) и частотой w₀ = 1/T, т.е. переходный процесс представляет собой затухающие колебания относительно установившегося значения  (рис. 3.5.17). Примерами колебательного звена могут служить пружина с успокоительным устройством, электрический колебательный контур с активным сопротивлением и т.п.

     При r = 0 колебания носят незатухающий характер.

     Аналитическая формула переходной характеристики звена:

H(t) = k[1-exp(-gt) (cos lt+(g/l) sin lt)] 1(t),  g= (l/p) ln (A₁/A₂),  l= w₀

.

      Импульсная  функция:

h(t) = (kw₀²/l) exp(-gt) sin(lt) 1(t).

     Зная  характеристики реального устройства можно оценить его параметры как колебательного звена. Постоянная времени Т и коэффициент затухания:

T = T_k/

,   _{r = ln(A1/A3) / ,}

_{где Tk – период колебаний, А1 и А3 – амплитуды двух соседних полуколебаний одного знака относительно установившегося значения (см. рис. 3.5.17).}

     

Рис. 3.5.18.

     АФЧХ  колебательного звена:

W(jw) = k/[-T²w² + 2r Tjw +1].

     Годограф  (рис. 3.5.18) описывает кривую, заходящую в третий квадрант. Фазовый сдвиг на частоте ω₀ равен -π/2, и стремится к -p при дальнейшем увеличении частоты.

     ЛАЧХ  колебательного звена (рис. 3.5.19):

L(w) = 20 lg k – 10 lg((1-T² w²)² + 4r²T²w²).

     При r<0.707 амплитудная частотная характеристика звена имеет резонансный пик на частоте

w_m = w₀

.

      Высота  пика тем больше, чем меньше параметр затухания, и определяется выражением:

A(w_m) = k/[2r

].

     Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена на низких частотах до сопрягающей частоты w₀ = 1/T параллельна оси абсцисс (T²w²<<1, L(w) @ 20 lg k), при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном - 40 дБ/дек, т.е. высокие частоты колебательное звено "заваливает" сильнее, чем апериодическое звено.

     

Рис. 3.5.19.

     Реальная  ЛАЧХ при w » w₀ значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования r. В предельном случае r = 0 получаем звено, у которого при w » w₀ амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности.

     ЛФЧХ  при малых частотах асимтотически  стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к -p.

     Наклон  ЛАЧХ 40 дБ/дек и максимальный поворот фазы до -p характерны для всех звеньев второго порядка.

3.6. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВХОД-ВЫХОД [1].

     Модель  вход-выход строится по известным  уравнениям отдельных компонентов (блоков, звеньев). Процедура сводится к преобразованию системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение отдельных блоков, к единому уравнению системы управления.

     Простейшие  соединения блоков. Возможны  три  способа  соединения звеньев:  последовательное,  параллельное  и  встречно-параллельное  или  соединение с обратной связью (ОС).

     

Рис. 3.6.1.

     Последовательное  соединение блоков. Последовательным  называют  такое  соединение  звеньев,  при котором выходная  величина  предыдущего  звена  является  входной  для  последующего (рис. 3.6.1). При известных передаточных функциях звеньев, можно записать:     

X₂(p) = W₂(p) X₃(p),   X₁(p) = W₁(p) X₂(p) = W₁(p)W₂(p)X₃(p).

W(p) = W₁(p) W₂(p).

     Таким  образом,  систему  из  неограниченного  количества  звеньев,  включенных  последовательно,  можно  заменить  одним  эквивалентным  звеном  с  передаточной  функцией  W(p)  равной  произведению  передаточных  функций звеньев.

     Рассмотрим  последовательное соединение апериодического  звена (с единичным коэффициентом передачи W₁(p) = 1/(Tp+1)) и идеального дифференцирующего звена (W₂(p) = kp). Передаточная функция

W(p) = kp/(Tp+1),

что полностью совпадает с передаточной функцией реального дифференцирующего звена.

     

Рис. 3.6.2.

     Параллельное  соединение блоков. При  параллельном  соединении  звеньев  на  все  входы подается одна  и  та же  величина,  а  выходная величина равна сумме выходных  величин отдельных звеньев (рис. 3.6.2).      

X₂(p) = W₁(p) X₄(p),   X₃(p) = W₂(p) X₄(p).

X₁(p) = X₂(p)+X₃(p) = (W₁(p)+W₂(p)) X₄ (p). 

W(p) = W₁(p)+W₂(p).

     Из  последнего  выражения  следует,  что  параллельное  соединение  звеньев  эквивалентно одному звену с передаточной  функцией,  равной  сумме  передаточных  функций,  входящих  в  соединение  звеньев. Переходная характеристика:

H(t) =

H_i(t).

     Построение  переходной характеристики  параллельного  соединения  заключается  в построении переходных характеристик  отдельных  звеньев на одном графике  и  суммировании  их  ординат  для  одних  и тех же значений времени.

     Пример: ПИ-регулятор - параллельное соединение пропорционального (W₁(p)=k_п) и интегрирующего звеньев (k_и/p). Передаточная функция

W(p) = (k_пp + k_и)/p.

     

Рис. 3.6.3.

     Система с отрицательной  обратной связью. При встречно-параллельном соединении звеньев на вход звена кроме входной подается еще и выходная величина через специальное звено обратной связи. На  рис. 3.6.3 звено W₁(p) составляет  прямую цепь, которая охвачена ОС, звеном  W₂(p).  При этом  если  сигнал  x₃ вычитается  из  входного  сигнала x₄, то  ОС  называется  отрицательной, а если суммируется, то ОС – положительная. Для отрицательной обратной связи можно записать:

X₁(p) = W₁(p) X₂(p),   X₃(p) = W₂(p) X₁(p),   X₂(p) = X₄(p) – X₃(p).

     Решая эти три уравнения относительно X₁(p), находим:

X₁(p) = X₄(p) W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)).

     Передаточная функция

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)W₂(p)).                                     (3.6.1)

     Полученная  передаточная  функция  может  интерпретироваться  как  передаточная  функция  последовательно соединенных звеньев с передаточной функцией W₁(p) и системы с передаточной функцией:

Ф(p) = 1/(1+W_рс),

где W_рс = W₁(p)W₂(p) - передаточная  функция  разомкнутой  системы,  например, в точке “а”.

      При охвате любого звена единичной ОС (т.е. при W₂ (p) = 1) разомкнутая система преобразуется в замкнутую с передаточной функцией (из выражения (3.6.1)):

W(p) = W₁(p) /(1+ W₁(p)).

      С другой стороны, если в выражении (3.6.1) обеспечить  высокий коэффициент  усиления в цепи прямой связи (W₁(p) → ∞), то 1 в знаменателе  можно  пренебречь и свойства  звена  определяются только свойствами цепи ОС:

W(p) = 1/W₂(p).

     

Рис. 3.6.4.

     Консервативное  звено - двойной интегратор, имеющий передаточную функцию W₁(p) = 1/p², с отрицательной обратной связью, образованной пропорциональным звеном с W₂(p) = 1/w². Используя формулу (3.6.1), находим:

W(p) = 1/(p²+w²) = k/(T²p² +1),

где k = 1/w²,  T = 1/w.

     Передаточные  функции систем управления.

     Система управления без обратной связи (разомкнутая система), состоящая из последовательно соединенных регулятора и объекта управления (рис. 3.6.5).

     

Рис. 3.6.5.