Система автоматического управления

     ЛАЧХ  инерционного звена:

L(w) = 20 lg |W(jw)| = 20 lg k – 10 lg(T²w²+1).

     Чтобы упростить использование ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочно - постоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. Они применяются не только для инерционного звена, но и для любых более сложных передаточных функций. Переход к асимптотической ЛАЧХ выполняется в следующем порядке (Рис. 3.5.7):

     Выделим области низких и высоких частот, по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях и оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.

     В области низких частот   T²ω² << 1, и можно пренебречь выражением T²ω². Получаем горизонтальную прямую:  L(ω)=20lgk.

     В области высоких частот  T²ω² >> 1 и значением 1 можно пренебречь. Получаем уравнение прямой с наклоном 10дб./декаду в логарифмических координатах: L(ω)=20lgk - 20lgTω.

     Излом асимптотической LАЧХ имеется на ω=1/T (сопрягающая частота), где ошибка максимальна, не зависит от k и T, и равна примерно -3дб.:

ΔL=20lgk-20lgk+10lg(T²ω²+1)= 10lg2 ≈ - 3.03 дб.

     Уровень -3 дб. принято считать границей полосы пропускания.

     

Рис. 3.5.7.

     ЛФЧХ  асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к значению -p/2 при возрастании w до бесконечности. Перегиб кривой на сопрягающей частоте при j(w) = -p/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

     Для всех звеньев первого порядка  характерен наклон ЛАЧХ 20 дБ/дек и  максимальный поворот фазы p/2.

     При достаточно больших значениях Т звено на начальном участке может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т - как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

     Интегрирующее (астатическое) звено. Идеальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

dy/dt = k u(t),

Рис. 3.5.8.

т.е. скорость изменения  выходной величины пропорциональна значению входного сигнала.

     Общее решение: y(t) = y(0) + k u(t) dt.

     Пример реализации звена – интегрирующая емкость (рис. 3.5.8).

     

Рис. 3.5.9.

     Передаточная  функция звена: W(p) = k/p.

     Переходная  характеристика при u(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.9):

H(t) = k

1(t) dt = kt.    H(p) = k/p².

     Весовая функция при u(t) = d(t) и нулевых начальных условиях (рис. 3.5.9):

h(t) = k 1(t).    h(p) = k/p.

     АФЧХ  интегратора: W(jw) = k/jw = -jk/w = k exp(-jp/2)/w.

     

Рис. 3.5.10.

     Интегратор ослабляет высокие частоты пропорционально частоте и неограниченно усиливает («накапливает») низкие частоты. Годограф АФЧХ (рис. 3.5.10) расположен вдоль отрицательной мнимой оси. Фазово-частотная характеристика для положительных частот имеет постоянное значение -π/2, т.е. все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90^о. Радиус - вектор АЧХ при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от значения ∞, стремясь к 0. Коэффициент усиления бесконечно малых частот теоретически неограничен.

     ЛАЧХ  интегратора:

     L(w) = 20 lg |W(jw| = 20 lg k – 20 lg w.

     Логарифмическая характеристика представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, которая проходит через точку 0 дБ на частоте w = k.

     При k = 1 звено представляет собой “чистый” интегратор W(p) = 1/p. Интегрирующее звено неограниченно "накапливает" входное воздействие. Примеры интегрирующих звеньев: поршневой гидравлический демпфер, электрическая емкость и т.п.

     Интегрирующее звено с замедлением (рис. 3.5.11) описывается дифференциальным уравнением:   T d²y(t)/dt² + dy(t)/dt = k u(t).

     Передаточная  функция звена: W(p) = k/[p(Tp+1)].

     

Рис. 3.5.11.

     Для нахождения временных характеристик звена удобно представить передаточную функцию в виде суммы:

W(p) = k/p –  kT/(1+Tp).

      Соответственно, решение уравнения будет складываться в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Переходная характеристика:

H(t) = k[t-T(1-exp(-t/T))] 1(t).

      Весовая функция:

h(t) = k[1-exp(-t/T)] 1(t).

     Частотные характеристики звена:

L(w) = 20 lg [k/(w

)].

     График асимптотической ЛАЧХ представляет собой две прямые

L1(w) = 20 lg(k) – 20 lg(w),   w < 1/T,

L2(w) = 20 lg(k/T) – 40 lg(w),   w > 1/T,

с отрицательными наклонами соответственно 20 и 40 дБ/дек.

     Идеальное дифференцирующее звено. Выходная величина звена пропорциональна скорости изменения входной величины (производной от входной величины), а уравнение динамики имеет вид: y(t) = k du(t)/dt. Передаточная функция: W(p) = kp. При k = 1 звено осуществляет чистое дифференцирование W(p) = p.

     

Рис. 3.5.12.

     Идеальное дифференцирующее звено реализовать невозможно, так как величина всплеска выходной величины при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия всегда ограничена, а должна быть бесконечно большой.

     Близок  к идеальному звену операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.5.12).

     Переходная  характеристика:

H(t) = k d1(t)/dt = k d(t),

где функция d(t) может имитироваться достаточно коротким (<<RC) импульсом с площадью, равной 1.

     Импульсная  характеристика:

h(t) = k dd(t)/dt.

     Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw.

     Дифференцирующее  звено с замедлением. На практике используют реальные дифференцирующие звенья, осуществляющие приближенное дифференцирование входного сигнала. Реальное дифференцирующее звено является последовательным соединением двух типовых звеньев - идеального дифференцирующего kp и инерционного 1/(Tp+1). В конечном диапазоне рабочих частот характеристики такого звена могут быть сколь угодно близки к идеальным.

     Звено описывается уравнением: T dy(t)/dt + y(t) = k du(t)/dt.

     Передаточная функция: W(p) = kp /(Tp+1).

     

Рис. 3.5.13.

     При малых значениях Т звено можно рассматривать как идеальное дифференцирующее.

     Переходная  характеристика:

     H(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

      Импульсная характеристика:

h(t) = [kd(t)/T – (k/T²) exp(-t/T)] 1(t).

Рис. 3.5.14.

      По  переходной характеристике, имеющей вид экспоненты (рис. 3.5.13), можно определить передаточный коэффициент k и постоянную времени Т. Примерами звеньев являются четырехполюсники из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности. Дифференцирующие звенья применяются для улучшения динамических свойств САУ.

     Частотная передаточная функция:

W(jw) = kjw/(jwT+1).

      Годограф  звена (рис. 3.5.14) описывает полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, при Т®0. При этом годограф прижимается к положительной мнимой полуоси и стремится к годографу идеального дифференцирующего звена. Частота w=1/T считается максимальной, до которой реальное звено может приниматься за близкое к идеальному.

     

Рис. 3.5.15.

     Частотные характеристики звена приведены  на рис. 3.5.15. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное. При w ® ∞ коэффициент передачи звена стремится к k/T. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг стремится к нулю при w ® ∞.

     Апериодическое  звено второго  порядка. Дифференциальное уравнение звена:

T² d²y(t)/dt² + 2rT dy(t)/dt + y(t) = k u(t),

где r - коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция:

W(p) = k/(T²p² + 2r Tp + 1).

     Корни характеристического уравнения:

p_1,2 = (-r ±

)/T.

     Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.

     Если r ≥ 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:

T²p²+2rTp+1 = (T₁p+1)(T₂p+1),   T_1,2 = T(r ±

).