Нечеткая логика

Так, например, нечеткое множество "для небогатых", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит таким образом:

Аналогично можно  определить нечеткое множество "скоростные", "средние", "тихоходные" и  т.д.

Методы  построения функций  принадлежности нечетких множеств

В приведенных  выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт или просто задает для любого xОE значение mA(x), или определяет функцию принадлежности. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, час, расстояние, давление, температура и т.д., то есть когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах  при характеристике объекта можно  выделить набор признаков и для  любого из них определить полярные значения, отвечающие значениям функции  принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лица можно выделить следующие пункты:

Для конкретного  лица А эксперт, исходя из приведенной  шкалы, задает mA(x)О [0,1], формируя векторную  функцию принадлежности { mA(x1), mA(x2),... mA(x9)}.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет  элементарных измеримых свойств для определения нечеткого множества. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значение функций принадлежности были известны, например, mA(xi) = wi, i=1,2,...,n, тогда попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij}, где aij=wi/wj (операция деления).

Операции  над нечеткими  множествами

Содержание 

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ОE mA(x) <mB(x).

Обозначение: A М B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в  случае если A М B, говорят, что B доминирует A.

Равенство

A и B равны,  если "xОE mA(x) = mB (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xОE mA(x) = 1 - m B(x).

Обозначение: B = или A =

Очевидно, что  = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение

AЗB - наибольшее нечеткое подмножество, которое содержится одновременно в A и B.

mAЗB(x) = min( mA(x), mB(x)).

Объединение

А И В - наименьшее нечеткое подмножество, которое включает как А, так и В, с функцией принадлежности:

mAИ B(x) = max(mA(x), m B(x)).

Разность

А - B = АЗ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма

АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

Примеры

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Здесь:

1. AМB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2. A № B №C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AЗB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АИС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - С = АЗ  = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А = З С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Е В  = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наглядное представление операций над нечеткими  множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему  координат, на оси ординат которой  откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число  около 4, как показано на рисунке.

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).

Нечеткое множество  между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем  рисунке (снова синяя линия).

Следующий рисунок  иллюстрирует операцию отрицания. Синяя  линия - это ОТРИЦАНИЕ нечеткого  множества A.

На следующем  рисунке заштрихованная часть соответствует  нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно , AЗ , AИ .

Свойства  операций И і З

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

• - коммутативность;
• - ассоциативность;
• - идемпотентность;
• - дистрибутивность;
• AИЖ = A, где Ж - пустое множество, то есть mЖ(x) = 0 "xОE;
• AЗЖ = Ж;
• AЗE = A, где E - универсальное множество;
• AИE = E;
• - теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

• AЗ № Ж,
• AИ № E.

(Что, в частности,  проиллюстрировано выше в примере  представления нечетких множеств).

• CON(A) = A² - операция концентрирования,
• DIL(A) = A^0,5 - операция размывания,

которые используются при работе с лингвистическими переменными.

Умножение на число

Если a - положительное  число, такое, что a m A(x)Ј1, тогда нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:

maA(x) = amA(x).   

Тема 11. Нечетка логика (продолжение)

• Нечеткие множества
• Основные характеристики нечетких множеств
• Примеры нечетких множеств
• Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
• Операции над нечеткими множествами
• Примеры
• Наглядное представление операций над нечеткими множествами
• Свойства операций И і З
• Нечеткая и лингвистическая переменные
• Пример
• Нечеткие высказывания и нечеткие модели систем
• Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной
• Нечеткие множества в системах управления
• Общая структура нечеткого микроконтроллера
• Преимущества нечетких систем
• Применение нечетких систем

Нечеткая  и лингвистическая  переменные

При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая  переменная характеризуется тройкой <a, X, A>, где

• a - имя переменной,
• X - универсальное множество (область определения a),
• A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a.

Лингвистической переменной называется набор <b ,T,X,G,M>, где

• b - имя лингвистической переменной;
• Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
• G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
• М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.

Во избежание  большого количества символов:

• символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений;
• для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной b = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой").

Присваивание  нескольких значений символам предполагает, что контекст допускает неопределенности.

Пример

усть эксперт  определяет толщину изделия, с помощью  понятия "маленькая толщина", "средняя  толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина  равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация  этого описания может быть проведена  с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где 

• b - толщина изделия;
• T - {"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};
• X - [10, 80];
• G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например, "маленькая или средняя толщина", "очень маленькая толщина" и др.;
• М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="маленькая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) соответственно правилам трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка", операции над нечеткими множествами вида: А З C, АИ C, , CON А = А² , DIL А = А^0,5 і ін.