Нечеткая логика

Тема 11. Нечеткая логика

• Нечеткие множества
• Основные характеристики нечетких множеств
• Примеры нечетких множеств
• Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
• Операции над нечеткими множествами
• Примеры
• Наглядное представление операций над нечеткими множествами
• Свойства операций И і З
• Нечеткая и лингвистическая переменные
• Пример
• Нечеткие высказывания и нечеткие модели систем
• Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной
• Нечеткие множества в системах управления
• Общая структура нечеткого микроконтроллера
• Преимущества нечетких систем
• Применение нечетких систем

Наверное, самым  впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать  правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений  человека и использование их в  компьютерных системах представляет сегодня  одну из важнейших проблем науки.

Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х  лет в работах известного американского  математика Латфи Заде. Исследования такого рода было вызвано возрастающим неудовольствием экспертными системами. Хваленый "искусственный интеллект", который легко справлялся с задачами управления сложными техническими комплексами, был беспомощным при простейших высказываниях повседневной жизни, типа "Если в машине перед тобой  силит неопытный водитель - держись  от нее подальше". Для создания действительно интеллектуальных систем, способных адекватно взаимодействовать  с человеком, был необходим новый  математический аппарат, который переводит  неоднозначные жизненные утверждения  в язык четких и формальных математических формул. Первым серьезным шагом в  этом направлении стала теория нечетких множеств, разработанная Заде. Его  работа "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 году в журнале "Information and Control", заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и стала начальным  толчком к развитию новой математической теории. Он же дал и название для  новой области науки - "fuzzy logic" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий).

Чтобы стать  классиком, надо немного опередить  свое время. Существует легенда о  том, каким образом была создана  теория "нечетких множеств". Один раз Заде имел длинную дискуссию со своим другом относительно того, чья из жен более привлекательна. Термин "привлекательная" является неопределенным и в результате дискуссии они не смогли прийти к удовлетворительному итогу. Это заставило Загде сформулировать концепцию, которая выражает нечеткие понятия типа "привлекательная" в числовой форме.

Дальнейшие работы профессора Латфи Заде и его последователей заложили фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Аппарат теории нечетких множеств, продемонстрировав  ряд многообещающих возможностей применения - от систем управления летательными аппаратами до прогнозирования итогов выборов, оказался вместе с тем сложным  для воплощения. Учитывая имеющийся  уровень технологии, нечеткая логика заняла свое место среди других специальных  научных дисциплин - где-то посредине  между экспертными системами  и нейронными сетями.

Свое второе рождение теория нечеткой логики пережила в начале восьмидесятых годов, когда  несколько групп исследователей (в-основном в США и Япони) всерьез  занялись созданием электронных  систем различного применения, использующих нечеткие управляющие алгоритмы. Теоретические  основы для этого были заложены в  ранних работах Коско и других ученых.

Третий период начался с конца 80-х годов и  до сих пор. Этот период характеризуется  бумом практического применения теории нечеткой логики в разных сферах науки и техники. До 90-ого года появилось около 40 патентов, относящихся  к нечеткой логике (30 - японских). Сорок  восемь японских компаний создают лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансирует 5-летнюю программу по нечеткой логике, которая  включает 19 разных проектов - от систем оценки глобального загрязнения  атмосферы и предвидения землетрясений  до АСУ заводских цехов. Результатом  выполнения этой программы было появление  целого ряда новых массовых микрочипов, базирующихся на нечеткой логике. Сегодня  их можно найти в стиральных машинах  и видеокамерах, цехах заводов  и моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами. 
В США развитие нечеткой логики идет по пути создания систем для большого бизнеса и военных. Нечеткая логика применяется при анализе новых рынков, биржевой игре, оценки политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и т.п. Появились и коммерческие системы массового применения.

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону  практических применений привело к  постановке целого ряда проблем, в частности:

• новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений;
• элементная база нечетких компьютеров и контроллеров;
• инструментальные средства разработки;
• инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления, и т.п..

Нечеткие  множества

Пусть E - универсальное  множество, x - элемент E, а R - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойство R, определяется как множество упорядоченной  пары A = {mA (х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство R, и 0 - в  другом случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для  элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R. В  связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченной  пари A = {mA(х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая  значение в некотором упорядоченном  множестве M (например, M = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x к подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, тогда нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное  или четкое множество.

Рассмотрим множество X всех чисел от 0 до 10. Определим подмножество A множества X всех действительных чисел  от 5 до 8.

A = [5,8]

Покажем функцию  принадлежности множества A, эта функция  ставит в соответствие число 1 или 0 каждому элементу в X, в зависимости  от того, принадлежит данный элемент  подмножеству A или нет. Результат  представлен на следующем рисунке:

Можно интерпретировать элементы, соответствующие 1, как элементы, находящиеся в множестве A, а элементы, соответствующие 0, как элементы, не находящиеся в множестве A.

Эта концепция  используется в многих областях. Но существуют ситуации, в которых данной концепции будет не хватать гибкости.

В данном примере  опишем множество молодых людей. Формально можно записать так 

B = {множество  молодых людей} 

Поскольку, вообще, возраст начинается с 0, то нижняя граница  этого множества должна быть нулем. Верхнюю границу определить сложнее. Сначала установим верхнюю границу, скажем, равную 20 годам. Таким образом, имеем B как четко ограниченный интервал, буквально: B = [0,20]. Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей - молодой, а сразу на следующий  день уже не молодой? Очевидно, это  структурная проблема, и если передвинуть  верхнюю границу в другую точку, то можно задать такой же вопрос.

Более естественный путь создания множества B состоит в  ослаблении строгого деления на молодых  и не молодых. Сделаем это, вынося не только четкие суждения "Да, он принадлежит  множеству молодых людей" или "Нет, она не принадлежит множеству  молодых людей", но и гибкие формулировки "Да, он принадлежит к довольно молодым людям" или "Нет, он не очень молодой".

Рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить выражение "он еще молодой".

В первом примере  мы кодировали все элементы множества  с помощью 0 ли 1. Простым способом обобщить данную концепцию является введение значений между 0 и 1. Реально  можно даже допустить бесконечное  число значений между 0 и 1, в единичном  интервале I = [0, 1].

Интерпретация чисел при соотношении всех элементов  множества становится теперь сложнее. Конечно, число 1 соответствует элементу, принадлежащему множеству B, а 0 означает, что элемент точно не принадлежит  множеству B. Все другие значения определяют степень принадлежности к множеству B.

Для наглядности  приведем характеристическую функцию  множества молодых людей, как  и в первом примере.

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

mA(x1)=0,3; mA(x2)=0; mA(x3)=1; mA(x4)=0,5; mA(x5)=0,9

Тогда A можно  представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5,

(знак "+" является  операцией не сложения, а объединения)  или

Основные  характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M

• Величина mA(x) называется высотою нечеткого множества A. Нечеткое множество A является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 ( mA(x)=1). При mA(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.
• Нечеткое множество является пустым, если "xОE m A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле mA(x) :=
• Нечеткое множество является унимодальным, если mA(x)=1 лишь для одного x из E.
• Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством mA(x)>0, то есть носитель A = {x/mA(x)>0} " xОE.
• Элементы xОE, для которых mA(x)=0,5 называются точками перехода множества A.

Примеры нечетких множеств

1. Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько"  можно определить таким образом: 

"несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8;

ее характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

2. Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество "малый"  можно определить:

m"малый"(x)=

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", можно определить с помощью

m"молодой"(x) =

Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности m"молодой"(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), что называется относительно E' функцией совместимости, при этом:

m"молодой"(Сидоров) = m"молодой"(x), где x - возраст Сидорова.

4. Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0,µ] - универсальное множество "стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: "для небогатых ", "для среднего класса", "престижные", с функциями принадлежности типа:

Имея эти функции  и зная цены автомобилей из E в  данный момент времени, определим на E' нечеткие множества с этими  же названиями.