Суммирование погрешностей

Рассмотри случай, когда b – a ¹ d – c.

В этом случае при использовании  формы свертки важно (для удобства) правильно выбрать, какую функцию считать первой, а какую второй. Если ( ) > ( ), то следует взять плотность f₂(e₂) с границами a и b, и наоборот. Тогда всё делается по изложенной методике. В результате получим трапецеидальный закон, как это показано на рисунке 9.

 

 

 

 

 

 

Приведенный пример характерен для цифровых измерительных приборов, у которых погрешность квантования подчиняется равномерному закону, а погрешности уровней квантования распределены по закону близкому к нормальному. В технике эксперимента кривая  f_S(e) называется "профилем кванта", который определяется с помощью специальных процедур, которые будут изучаться на старших курсах в дисциплине "Метрологическое обеспечение прецизионных  (цифровых) средств измерений".

Рассмотрим еще примеры.

Следующий пример – это  получение композиции двух равномерных законов:

 ,

.

Начнем со случая, когда  = , т.е. одинаковые размахи, но не обязательно, чтобы a =c и b=d. Тогда композиция

.

Интегральная функция первого  равномерного распределения определяется выражением

Ее  график имеет вид, показанный на рисунке 7.

Рисунок 7 - Плотность вероятностей и полученная из нее интегральная функция первого равномерного распределения

Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание суммы  случайных величин есть сумма  математических ожиданий этих величин; дисперсия суммы случайных некоррелированных величин есть сумма дисперсий, т.е.

 

.

Переходя к средним  квадратическим отклонениям получим

 

или

Если случайные погрешности  коррелированы и коэффициент корреляции К₁₂ известен (также по предыдущим опытным данным), то

или

 

Произведение  называют вторым центральным смешанным моментом (или взаимный корреляционный момент). Коэффициент корреляции .

Если K₁₂ =0, то имеем выше рассмотренный случай для некоррелированных составляющих.

Если K₁₂ =1, то налицо жесткая корреляция. Это означает, что если одна составляющая погрешности возрастает, то и другая возрастает пропорционально в той же степени. Например, случайность определяется внешними факторами (температура, влажность и т.д.). Температурные коэффициенты двух компонентов одинаковые. Находятся компоненты в одинаковых температурных  условиях.  Тогда  может  оказаться,  что  на сколько

 

 

изменилась погрешность  параметра одного компонента, настолько  изменится и другая.

Тогда для K₁₂ =1 получим:

.

Для такого особого случая складываются не дисперсии, а средние квадратические отклонения.

Возьмем другой крайний  случай K₁₂ = -1.

Тогда

.

Получили модуль разности средних  квадратических отклонений. Модуль потому, что среднее квадратическое отклонение по определению всегда положительно.

3 Суммирование  предельных погрешностей

Предельные погрешности на средства измерений и на их измерительные  компоненты нормируют (устанавливают) заводом изготовителем или устанавливают по результатам метрологических испытаний. Нормированные предельные погрешности, по сути, есть пределы допускаемых значений истинных погрешностей, устанавливающих нижнюю и верхнюю границы, в которых должна находиться истинная погрешность. Если вероятность того, что погрешность находится в установленных границах не задана, то она принимается равной единице.

Истинная погрешность не известна, поэтому может принять любое значение в установленных границах. Она может быть постоянна (систематическая), относительно медленно изменяться (дрейф) либо представлять собой случайный процесс. Эти тонкости учитывают в своей деятельности метрологи, а для практики, чаще всего, достаточно знания предельных значений погрешностей.

Границы интервала (пределы) чаще всего  устанавливают симметричными: или . Для упрощения записи знак опускают, но всегда подразумевают. Запись, например, означает, что .

мированным, т.е. позволяет получить под построенной кривой площадь, равную единице.

Приведем пример графического построения композиции.

Пусть первое слагаемое - случайная погрешность с нормальным законом распределения. Вид ее интегральной функции показан на рисунке 5.

Рисунок 5 - Функция нормального распределения

 

Второе слагаемое - случайная погрешность  с равномерной плотностью, показанной на рисунке 4.

Произведем построение результирующего закона распределения. Для этого, взяв за основу рисунок 4, отметим на оси абсцисс точки a; b; a+m₁; m₂; m₂+m₁; b+m₁. Вокруг точек а+m₁ и b+m₁ построим две кривые интегральной функции F₁(e - a) и F₁(e - b), как это показано на рисунке 6. Кривые функций распределения пересекаются с уровнем 0,5 по оси F при e=a+m₁ и  e=b+m₁.

 

Рисунок 6 - Композиция нормального  и интегрального распределений

.

Проведем некоторые  математические преобразования:

.

Каждое преобразование следует  из свойств определенного интеграла, подробно изученных студентом в  курсе математики.

Полученный интеграл разобьем на два:

.

По определению первый интеграл равен единице. Для нормированной  плотности вероятности площадь  под кривой равна единице. Это соответствует тому, что вероятность

P [-¥<e<¥]=1.

Второй интеграл представляет собой интегральную функцию распределения. Вспомним теорию вероятностей:

, отсюда .

Следовательно

.

Аналогично вторая часть  равна   .

Таким образом, композиция любого закона и равномерного имеет вид:

 

.

 

Из полученного выражения  следует, что композиция представляет собой разность смещенных друг относительно друга на (b-a) интегральных функций распределения первой составляющей. Умножение на коэффициент делает результат нор-

 

В формулах для расчета  суммы предельных погрешностей всегда ставят знак "плюс":

 

.

 

Очевидно, что результат  такого суммирования по вероятности дает завышенный, по отношению к истинному значению, результат. Согласитесь, что вероятность того, что все истинные значения суммируемых погрешностей имеют один знак и близки к предельным значениям, очень мала. Поэтому, чтобы получить результат более близкий к реальному, осуществляют не арифметическое, а геометрическое сложение, т.е. используют формулу, имеющую вид как и формула для расчета среднего квадратического отклонения суммы независимых случайных погрешностей:

.

 

Существенная разница  в расчетах по двум формулам может обнаружиться уже при n=2 - 3.

Пример.

Пусть имеется несколько одинаковых значений предельных погрешностей . Их необходимо сложить.

Сумма двух погрешностей при арифметическом сложении дает , при геометрическом -

  . Разница очевидна.

Для трех составляющих имеем

 и .

Для четырех составляющих -

 и .

Следовательно, чем больше число слагаемых, тем целесообразнее суммировать применяя геометрическое сложение.

4 Суммирование  интерквантильных погрешностей

 

Под интерквантильными  значениями погрешностей понимают интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение случайной погрешности.

Что такое "квантиль"? Когда говорят "квантиль порядка a", это означает такое значение аргумента интегральной функции распределения , при котором функция принимает значение a:

.

Если a=0,5, то аргумент есть медиана Ме закона распределения (или математическое ожидание для симметричных законов):

 или .

Пусть a=0,95, то квантиль порядка 0,95 определяется выражением:

,

откуда следует, что вероятность

.

Установив вторую (нижнюю границу) в виде квантиля порядка 0,05, получим интерквантильный интервал , в котором случайная величина находится с вероятностью

.

Интерквантильная оценка погрешности более информативна для практического использования, чем математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение (без указания закона распределения) либо математическое ожидание и энтропийное значение. Однако возникают сложности заключающиеся в том, что невозможно определить интерквантильные интервалы суммы составляющих, не зная законов распределения.

Приближенно эту задачу можно решить для вероятности 0,90. Как показали П.В.Новицкий и И.Н.Зограф нормированные  интегральные функции распределения для широкого класса симметричных высокоэнтропийных распределений: равномерного,  треугольного,  трапецеидального,  нормального  и некото-

.

При построении кривых плотностей применено правило "трех сигм", т.е. практически весь размах определяется .

Рассмотрим более сложный  пример, когда придется обратится к операции свертки. Пусть первая слагаемая погрешность имеет произвольный закон распределения, характеризующийся непрерывной плотностью вероятности . Это может быть нормальный, равномерный или другой закон. Вторая же слагаемая погрешность распределена по равномерному закону с плотностью:

,

где - селектор интервала, определяемый выражением:

Числовые характеристики такого закона равны

,  .

Графически такая плотность  распределения имеет вид, показанный на рисунке 4.

 

Рисунок 4 - Равномерная плотность  вероятностей

 

Плотность вероятности суммы этих двух случайных погрешностей (композиция) определяется выражением:

 

 

Вид закона распределения  сохраняется (устойчивый закон), а плотность вероятности суммы погрешностей определяется выражением:

.

Для любителей математики предлагаем осуществить  операцию свертки и получить приведенную формулу.

Построим графики слагаемых  нормально распределенных погрешностей и их композицию (рисунок 3) для заданных значений числовых характеристик:

= 1,5 мВ; = 2,5 мВ; =1 мВ; =0,5 мВ.

 

Рисунок 3 - Композиция нормальных распределений

 

Числовые характеристики полученного нормального распределения равны

.

рых других - в районе 0,05-й и 0,95-й квантилей пересекаются между собой в очень узком  интервале значений , где - нормированная переменная.

На рисунке 1 показаны графики нормированных интегральных функций распределения нормального и равномерного законов.

Рисунок 1 - Функции распределения  нормального и равномерного законов и точки их пересечения.

 

Из сказанного следует: с погрешностью 0,05s можно считать, что 0,05-й и 0,95-й квантили для любых из выше перечисленных распределений определяются выражениями

,

.

Интерквантильный интервал записывается в виде с вероятностью .

Случайная (центрированная) составляющая погрешности заключена в интервале .

По аналогии с предельными погрешностями  обозначим  , что справедливо, как было показано выше для многих законов распределения. При суммировании погрешностей любого сочетания распределений оговоренного класса результирующее распределение будет того же класса. Тогда и для суммы n- составляющих

,

где , а .

Отсюда следует, что

 

.

 

Опять получили формулу  геометрического сложения.