Суммирование погрешностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство образования  Российской Федерации

Пензенский государственный  университет

Факультет автоматики и  информационной техники

Кафедра метрологии и  систем качества

 

 

 

 

Г.П. Шлыков

 

 

 

 

 

СУММИРОВАНИЕ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

Лекция

 

 

 

 

Рекомендовано к использованию  в учебном процессе

решением кафедры "Метрология и системы качества"

от 11 июня 2003 г., протокол № 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2003

 

УДК 389.14: 621.317.08

 

Шлыков Г.П. Суммирование погрешностей. Лекция. Серия "Метрология", Вып. 3.– Пенза: ПГУ, каф. МСК, 2003. – 22 с.

 

Тема лекции в программе  дисциплины "Метрология, часть 2 (Теория точности)" занимает одно из ключевых мест.

В ней приводятся правила  суммирования погрешностей, представленных в наиболее характерных для практики формах: от сложения действительных погрешностей до сложения законов распределения.

Лекция предназначена  для студентов направления 653800 "Стандартизация, сертификация и метрология" при изучении указанной фундаментальной метрологической дисциплины, а также при освоении материалов последующих специальных дисциплин и при выполнении курсовых и аттестационных работ.

 

 

Рецензент: С.Б.Кутыркин, кандидат техн. наук.

 

 

 

 

Ó Г.П. Шлыков, 2003

 

 

 

 

Издательский комплекс кафедры МСК ПГУ.

Компьютерная верстка  Н.Ю.Белоглазовой

Технический редактор Н.Ю.Белоглазова 

Внутрикафедральное издание

Заказ № 4 от 11 июня 2003 г.   Тираж 15 экз.

http://.stup.ac.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Введение	3
1 Суммирование действительных значений погрешностей	5
2 Суммирование случайных  погрешностей, заданных числовыми характеристиками распределений	6
3 Суммирование предельных  погрешностей	8
4 Суммирование интерквантильных  погрешностей	10
5 Композиция законов  распределения слагаемых	13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

К суммированию погрешностей, вызванных теми или другими факторами, влияющими на  характеристики средств измерений или их компонентов, а также на результат измерительной процедуры, прибегают постоянно при разработке контрольно-измерительной аппаратуры, методик выполнения измерений и контроля, при проведении измерений в процессах исследования объектов, контроля и испытаний, и в ряде других случаев.

При простейших измерениях оператор должен оценивать результирующую погрешность, суммируя погрешность, определяемую установленным классом точности прибора, и температурную погрешность, если окружающая температура отличается от нормальной (например, 20±2°С).

Экспериментатор, испытывая  тот или иной объект, проводит массу измерений. Ему приходится учитывать погрешности средств измерений, методические погрешности, погрешности от влияния температуры, влажности, вибрации и т.д.

Проектируя средство измерений разработчик, чтобы удостовериться, что средство измерений будет иметь погрешность, не превышающую значения, установленного в техническом задании, суммирует составляющие, определяемые неточностью и нестабильностью параметров компонентов.

Параметры компонентов  и внешние влияющие факторы имеют  определенные размерности. Абсолютные отклонения параметров от номинальных значений (погрешности), очевидно, имеют те же размерности. Поэтому, чтобы осуществить суммирование их приводят к одной размерности через так называемые весовые (размерные, как правило) коэффициенты. Если стоит задача определить погрешность измерения, то все составляющие приводят к размерности измеряемой величены.

В случае, если слагаемые  выражены в относительной форме, то весовые коэффициенты будут безразмерными.

В данной  лекции рассматриваются  математические правила  суммирования. При этом все выводы и формулы представляются в символике абсолютных погрешностей. Если перед вами стоит задача суммировать погрешности в относительной форме, то привила все остаются такими же.

 

Обратим внимание на одно важное для практики обстоятельство. При расчете погрешностей, т.е. при оперировании с числовыми значениями, следует помнить, что каждое значение погрешности само обладает погрешностью. Поэтому результирующую (суммарную) погрешность  никогда не представляют  более чем двумя значащимися десятичными цифрами. Например, 0,015 вместо 0,014875 и т.п.

Если одна из составляющих больше другой в десятки  раз, то ей, как правило, пренебрегают. Эта погрешность второго или  более высокого порядка малости.

С задачей  суммирования погрешностей (составляющих погрешности измерений) студенты сталкиваются начиная с первого курса, изучая дисциплину "Введение в технологию эксперимента". Далее курсы физики, электротехники, методы и средства измерений и т.д.

В последующих  за нашей дисциплиной специальных дисциплинах вопросы суммирования погрешностей будут возникать постоянно.

В данной лекции, которая посвящена рассмотрению математических правил, приведены ответы на следующие вопросы теории и практики суммирования погрешностей.

Как осуществить  процедуру суммирования, если составляющие погрешности заданы в виде:

- действительных значений погрешностей, полученных при метрологических испытаниях ( и );

- числовых характеристик (математические ожидания и средние квадратические отклонения) погрешностей как случайных некоррелированных величин ( );

- числовых характеристик (математические ожидания, средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции) погрешностей, как случайных коррелированных величин ( );

- предельных (нормированных) значений погрешностей ( и ), установленных в документации на компоненты или условия;

- предельных значений с указанием вероятности или интерквантильных значений ( ).

- плотностей вероятностей погрешностей( );

Библиографический список

 

1 Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка  погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомиздат, 1985.

2 Шлыков Г.П. Погрешности средств измерений и их экспериментальное определение.Вводный курс: Конспект лекций. – Пенза: ПГУ, каф. МСК, 1994.

3 Абезгауз Г.Г. Справочник по  вероятностным расчетам/ Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина И.А. – М.:Воениздат, 1970.

4 Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов/ Семендяев К.А. – 13-е изд., исправленное. – М.:Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит., 1986.-514 с.

5 Шлыков Г.П. Функциональный  и метрологический анализ средств измерений и контроля. Часть 1. Функциональный анализ: Учеб. пособие. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1998.

6 Шлыков Г.П. Статические предельные  метрологические модели линейных  измерительных преобразователей. Серия  "Метрология", Вып. 1: Лекция.– Пенза:  ПГУ, каф. МСК, 2003. – 24 с. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 9 - Композиция двух равномерных  законов с разными размахами

 

 

 

Итак, математические правила  суммирования погрешностей мы изучили. Осталось дать несколько советов.

Предложенные процедуры не "жонглирование  математическими символами", по меткому высказыванию академика – математика  Виноградова, они все нужны для практики. Инженер-метролог и инженер по качеству, в отличие от многих других специалистов, первоначально тщательно изучают проблему, ищут причины, оценивают на первый взгляд "мелочные" погрешности, а потом анализируют всю проблему в целом. В частности, после суммирования составляющих погрешности округляют результат до требуемой для практики точности и отбрасывают малые второго и более высоких порядков малости.

К сожалению, часто (не метрологи и не инженеры по качеству!) заранее "знают", чем можно пренебречь. Это может привести к негативным последствиям.

Так давайте же, прежде чем результат  представить в простой форме (а к этому нужно всегда стремиться), научимся делать глубокий анализ, который должен представлять этап на пути к формированию результата в простой и доступной форме с заданной  (необходимой) достоверностью.

 

 

1 Суммирование  действительных значений          погрешностей

 

Напомним, что действительное значение погрешности есть приближенная оценка истинного значения . Получают действительное значение с помощью образцовых средств измерений, которые в свою очередь также обладают погрешностями, но значительно (например, в 5-10 раз) меньшими, чем оцениваемые. Подразумевается, что эти погрешности являются детерминированными величинами, по крайней мере за время метрологических испытаний.

Во время метрологических испытаний, к которым относят поверку  и калибровку средств измерений (приборов, мер, преобразователей и др.), аттестации контрольно-измерительных установок, автоматизированных стационарных измерительных систем, а также при проведении регулировочных работ, предшествующих итоговым приемо-сдаточным испытаниям, пуско-наладочных работ на объекте заказчика, часто имеют дело с действительными погрешностями компонентов, которые суммируют.

Правило сложения таких  погрешностей очень простое: производят арифметическое сложение с учетом знака

 

,

 где  ; n - число слагаемых.

Еще раз обратим внимание на то, что слагаемые, а следовательно и сумма обладают некоторыми погрешностями, которые вызваны погрешностями образцовых средств и методов их определения.

Пример.

Имеется три последовательно  соединенных прецизионных резистора. Требуется определить погрешность сопротивления всей цепи (суммы сопротивлений резисторов). Пусть абсолютные  погрешности  каждого  резистора  определены  с  помощью

 

образцового омметра  и составили соответственно Ом, Ом и Ом.

Тогда = +0,27-0,12+0,0035= +0,1535»0,15 Ом.

2 Суммирование  случайных погрешностей, заданных числовыми характеристиками распределений

 

Пусть погрешность определяется суммой двух составляющих, которые являются случайными величинами. Заданы числовые характеристики плотностей распределения: m₁ - матема-тическое ожидание и - среднее квадратическое отклонение первой составляющей и аналогично  m₂ и -второй.

Числовые характеристики получены опытным путем по результатам  ряда измерений (n) и вычисления их средних значений (оценка математического ожидания) и корня квадратного из среднего значения квадратов отклонений единичных значений от их математических ожиданий (оценка среднего квадратического отклонения) по формулам

,

,

где - оценки погрешностей единичных измерений; n - число измерений.

Из приведенных формул следует, что заданные нам для расчета значения m₁, и m₂, обладают своими погрешностями, определяемыми как погрешностями образцовых средств (во время их опытного определения), так и погрешностью, определяемой конечностью числа измерений (n - никак не бесконечность).

Ниже "галочки", означающие оценки, будем опускать для упрощения  записей, однако всегда будем помнить, что дело имеем с оценками, или  действительными значениями, а не с истинными значениями.

Графическое построение композиции осуществляется аналогично ранее проделанному. Откладываем на оси ординат точки a и b, являющиеся границами второго нормального распределения. Находим точки a+m₁ и b+m₁, где m₁=(c+d)/2. Строим две, смещенные относительно друг друга, интегральные функции, центрами которых являются точки a+m₁ и b+m₁. Для этого влево и вправо от этих точек откладываем по полуразмаху (размах равен b-a=d-c). Построение показано на рисунке 8.

 

Рисунок 8 - Композиция двух одинаковых равномерных законов

 

Получился треугольный  закон (закон Симпсона). Его математическое ожидание m_å=m₁+m₂ и размах равен двойному размаху одной из составляющих.