Исследование функций с помощью производной

    

-                                              +

-1

min

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Так как производная меняет свой знак  с «-» на «+», то х=-1, это  точка

минимума функции.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на        [-

1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

    

Точки экстремума: x_min= -1

Экстремумы функции: y_min=y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования  функций.

Исследуя функцию, нужно  знать общую схему исследования:

1)     D(y) – область  определения (область изменения  переменной х)

2)     E(y) – область  значения х (область изменения  переменной у)

3)     Вид функции:  четная, нечетная, периодическая или  функция общего вида.

4)     Точки пересечения  графика функции с осями Охи  Оу (по возможности).

5)     Промежутки  знака постоянства:

а) функция принимает положительное  значение : f(x)>0

б) отрицательное значение : f(x)<0.

6)     Промежутки  монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства ( f=const).

7)     Точки экстремума (точки минимума и максимума)

8)     Экстремумы  функции (значение функции в  точках минимума и максимума)

9)     Дополнительные  точки.

Они могут быть взяты для  того, чтобы более точно построить  график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

3.2. Признак возрастания и убывания  функций.

Если строить график функции  по каким-либо произвольно выбранным  его точкам, соединяя их плавной  линией, то даже при очень большом  числе случайно выбранных точек  может оказаться, что построенный  таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Если при исследовании функции использовать производную  и найти так называемые «опорные»  точки, т.е. точки разрыва, точки максимума  и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе  таких «опорных» точек  мы получим  правильное  представление о графике  функции.

Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые  определения и теоремы.

     Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x)

называется возрастающей на интервале, если для любых точек  х₁ и х

₂ этого интервала из  условия х₁<х₂ следует, что

f(x₁)<f(x₂). Если же из условия х₁<х

₂ следует, что f(x₁)>f(x₂), то функция называется

убывающей на этом интервале.

     Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема:если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает.

Поскольку эти рассуждения  основаны лишь на наглядных геометрических

представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Критические точки функции,  максимумы и минимумы.

     Определение точек экстремума функции. Пусть х₀ –

внутренняя точка из области  определения функции f(x). Тогда, если существует

такая δ – окрестность ] x₀- δ, x₀+ δ [

точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство

f(x)≤f(x₀) (неравенство f(x)≥f(x₀)), точка х

называется максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области  определения функции.

     Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции.

     Теорема Ферма.

Если х₀ есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная

существует, то она равна  нулю: f ’(x₀)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование  экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х₀ производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х₀

функция имеет экстремум.

     Определение критических точек функции. Внутренние точки области

определения функции, в которых  ее производная равна нулю или  не существует, называют критическими точками функции.

     Достаточные условия существования экстремума.

     Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, f ‘(x)>0  на интервале [a, x₀] и f ‘(x)<0  на интервале [x₀, b], то х₀ является точкой максимума функции f(x).

     Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, f ‘(x)<0  на интервале [a, x₀] и f ‘(x)>0  на интервале [x₀, b], то х₀ является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных  точек функции нужно найти  ее критические точки и для  каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения  функции.

     Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке.

Для отыскания наибольшего  и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические  точки, лежащие внутри промежутка, вычислить  значения функции в этих точках и  на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции  выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава IV. Примеры применения производной  к исследованию функции.

     Пример 11. Исследовать функцию y=x³+6x²+9x  и построить график.

y=x³+6x+9x

1)     D(y)=R

2)     Определим  вид функции:

y(-x)=(-x)³+6(-x)²+9(-x)=-x+6x²-9x  функция общего вида.

3)     Найдем точки  пересечения с осями:

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

Ox: y=0,

x³+6x²+9x=0

x(x²+6x+9)=0

x=0 или x²+6x+9=0

D=b²-4ac

D=36-36=0

D=0, уравнение имеет один  корень.

x=(-b+D)/2a

x=-6+0/2

x=-3

(0;0) и (-3;0) – точки пересечения  с осью х.

4)     Найдем производную  функции:

y’=(x³+6x²+9x)’=3x²+12x+9

5)     Определим  критические точки:

y’=0, т.е. 3x²+12x+9=0  сократим на 3

x²+4x+3=0

D=b²-4ac

D=16-12=4

D>0, уравнение имеет 2 корня.

x_1,2=(-b±√D)/2a,  x₁=(-4+2)/2 , x₂=(-4-2)/2

x₁=-1     x₂=-3

6)     Обозначим  критические точки на координатной  прямой и определим знак

функции:

0                                                               -4

+                                 -                             +

-3                         -1

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7)     Найдем x_min и x_max:

x_min=-1

x_max=-3

8)     Найдем экстремумы  функции:

y_min=y(-1)=-1+6-9=-4

y_max=y(-3)=-27+54-27=0

9)     Построим  график функции:

    

10)Дополнительные точки:

y(-4)=-64+96-36=-4

     Пример 12. Исследовать функцию y=x²/(x-2) и построить график

y=x²/(x-2)=x+2+4/(x-2)

Найдем асимптоты функции:

              x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

_x²              x-2

x²-2x    x+2

_2x

2x-4

4

y=x+2 – наклонная асимптота,  т.к.

lim 4/(x-2)=0

x→∞

Найдем область определения.

1)     D(y)=R \ {2}

2)Определим вид функции.

y(-x)=(-x)²/(-x-2)=x²/(-x-2), функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения  с осями.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

Ox: y=0,

x²/(x-2)=0

x³-2x²=0

x²(x-2)=0

x=0 или x=2  (2;0) – точка  пересечения с осью х

4) Найдем производную  функции:

y’=(2x(x-2)-x²)/(x-2)²=(2x²-4x-x²)/(x-2)²=(x(x-4))/(x-2)²=(x²-4x)/(x-2)²

     5) Определим критические точки:

                                    x²-4x=0                  x(x-4)=0

y’=0, (x²-4x)/(x-2)²=0 <=>                       <=>

                           (x-2)²≠ 0                 x≠ 2

x²-4x=0, а (x-2)²≠ 0, т.е. х≠ 2

x(x-4)=0

x=0  или x=4

6) Обозначим критические  точки на координатной прямой  и определим знак функции.

                                 0                                          8

+                -                       -                      +

0                    2                    4

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1,  y’=(1-4)/1=-3<0

x=3,  y’=(9-12)/1=-3<0

x=5,  y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Найдем точки минимума  и максимума функции:

x_min=4

x_max=0

8) Найдем экстремумы функции:

y_min=y(4)=16/2=8

y_max=y(0)=0

9) Построим график функции:

    

10) Дополнительные точки:

y(-3)=9/-5=-1,8              y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1                  y(6)=36/4=9

     Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x²+3) и

построить график.              1) Найдем область определения функции:

D(y)=R

2)     Определим  вид функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x²+3)=-(6(x+1))/(x²-3) – функция общего вида.

3)     Найдем точки  пересечения с осями:

     O_y: x=0,  y=(6(0-1))/(0+3)=-2,  (0;-2) – точка пересечения с осью y.

(6(x-1))/(x²+3)=0

O_x: y=0, <=>

x²+3≠ 0

6x-6=0

6x=6

x=-1

(1;0) – точка пересечения  с осью х

4) Найдем производную  функции:

y’=(6(x-1)/(x²+3))’=6(x²+3-2x²+2x)/(x²+2)²=-6(x+1)(x-3)/(x²+3)²

5) Определим критические  точки:

y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x²+3)²=0

-6(x+1)(x-3)=0

y’=0, если х₁=-1 или х₂=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

6) Обозначим критические  точки на координатной прямой  и определим знак функции:

                                                    -3                         2

-                                +                              -

-1                         3

x=-2,    y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)²=-30/49<0

x=0,     y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)²=2>0

x=4,     y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)²=-30/361<0

7) Найдем точки минимума  и максимума:

x_min=-1

x_max=3

8) Найдем экстремумы функции:

                   y_min=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

                   y_max=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Построим график функции:

    

10) Дополнительные точки:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

     Пример 14. Исследовать функцию y=x ln x и построить ее график:

1)     Найдем область  определения функции:

y=x ln x

D(y)=R₊ (только положительные значения)

2)     Определим  вид функции:

y(-x)=-x ln x -  общего вида.

3)     Найдем точки  пересечения с осями: