Геостанционарная орбита. Исаак Ньютон

В письме к  Пардизу Ньютон сформулировал «золотое правило науки»:

Лучшим и  наиболее безопасным методом философствования, как мне кажется, должно быть сначала  прилежное исследование свойств  вещей и установление этих свойств  с помощью экспериментов, а затем  постепенное продвижение к гипотезам, объясняющим эти свойства. Гипотезы могут быть полезны лишь при объяснении свойств вещей, но нет необходимости  взваливать на них обязанности определять эти свойства вне пределов, выявленных экспериментом… ведь можно изобрести  множество гипотез, объясняющих  любые новые трудности.

Такой подход не только ставил вне науки умозрительные  фантазии (например, рассуждения картезианцев о свойствах «тонких материй», будто бы объясняющих электромагнитные явления), но был более гибким и  плодотворным, потому что допускал математическое моделирование явлений, для которых первопричины ещё  не обнаружены. Это и произошло  с тяготением и теорией света  — их природа прояснилась гораздо  позже, что не мешало успешному многовековому  применению ньютоновских моделей.

Знаменитая  фраза «гипотез не измышляю» (лат. Hypotheses non fingo), конечно, не означает, что Ньютон недооценивал важность нахождения «первопричин», если они однозначно подтверждаются на опыте. Полученные из эксперимента общие принципы и следствия из них должны также пройти опытную проверку, которая может привести к корректировке или даже смене принципов. «Вся трудность физики… состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления». 

Ньютон, так  же как Галилей, полагал, что в  основе всех процессов природы лежит  механическое движение:

Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы… ибо многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел, вследствие причин покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. Так как эти силы неизвестны, то до сих пор попытки философов объяснить явления природы и оставались бесплодными.

Свой научный  метод Ньютон сформулировал в книге «Оптика»:

Как в математике, так и при испытании природы, при исследовании трудных вопросов, аналитический метод должен предшествовать синтетическому. Этот анализ заключается в том, что из экспериментов и наблюдений посредством индукции выводят общие заключения и не допускают против них никаких возражений, которые не исходили бы из опытов или других надёжных истин. Ибо гипотезы не рассматриваются в экспериментальной философии. Хотя полученные посредством индукции из экспериментов и наблюдений результаты не могут ещё служить доказательством всеобщих заключений, всё же это — наилучший путь делать заключения, который допускает природа вещей.

В 3-ю книгу  «Начал» (начиная со 2-го издания) Ньютон поместил ряд методических правил, направленных против картезианцев; первый из них — вариант «бритвы Оккама»:

   Правило  I. Не должно принимать в природе  иных причин сверх тех, которые  истинны и достаточны для объяснения явлений… природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасным совершать многим то, что может быть сделано меньшим. Природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей…

   Правило  IV. В опытной физике предложения,  выведенные из совершающихся  явлений с помощью наведения  [индукции], несмотря на возможность  противных им предположений, должны  быть почитаемы за верные или  в точности, или приближённо, пока  не обнаружатся такие явления,  которыми они ещё более уточняются  или же окажутся подверженными  исключениям.

Механистические взгляды Ньютона оказались неверны  — не все явления природы вытекают из механического движения. Однако его научный метод утвердился в науке. Современная физика успешно  исследует и применяет явления, природа которых ещё не выяснена (например, элементарные частицы). Начиная  с Ньютона, естествознание развивается, твёрдо уверенное в том, что мир  познаваем, потому что природа устроена по простым математическим принципам.Эта уверенность стала философской базой для грандиозного прогресса науки и технологии.

Математика

Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка (кривые 2-го порядка  исследовал Ферма) и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов — нового и мощнейшего инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон считал основным и общим методом анализа функций, и в этом деле достиг вершин мастерства. Он использовал ряды для вычисления таблиц, решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций. Ньютон сумел получить разложение для всех стандартных на тот момент функций.

Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление одновременно с Г. Лейбницем (немного  раньше) и независимо от него. До Ньютона  действия с бесконечно малыми не были увязаны в единую теорию и носили характер разрозненных остроумных приёмов (см. Метод неделимых). Создание системного математического анализа сводит решение соответствующих задач, в значительной степени, до технического уровня. Появился комплекс понятий, операций и символов, ставший отправной  базой дальнейшего развития математики. Следующий, XVIII век, стал веком бурного  и чрезвычайно успешного развития аналитических методов.

Возможно, Ньютон пришёл к идее анализа через разностные методы, которыми много и глубоко  занимался. Правда, в своих «Началах»  Ньютон почти не использовал бесконечно малых, придерживаясь античных (геометрических) приёмов доказательства, но в других трудах применял их свободно.

Отправной точкой для дифференциального и  интегрального исчисления были работы Кавальери и особенно Ферма, который  уже умел (для алгебраических кривых) проводить касательные, находить экстремумы, точки перегиба и кривизну кривой, вычислять площадь её сегмента. Из других предшественников сам Ньютон называл Валлиса, Барроу и шотландского учёного Джеймса Грегори. Понятия функции ещё не было, все кривые он трактовал кинематически как траектории движущейся точки.

Уже будучи студентом, Ньютон понял, что дифференцирование  и интегрирование — взаимно обратные операции.Эта основная теорема анализа уже более или менее ясно вырисовывалась в работах Торричелли, Грегори и Барроу, однако лишь Ньютон понял, что на этой основе можно получить не только отдельные открытия, но мощное системное исчисление, подобное алгебре, с чёткими правилами и гигантскими возможностями.

Ньютон почти 30 лет не заботился о публикации своего варианта анализа, хотя в письмах (в частности, к Лейбницу) охотно делится многим из достигнутого. Тем временем вариант Лейбница широко и открыто распространяется по Европе с 1676 года. Лишь в 1693 году появляется первое изложение варианта Ньютона — в виде приложения к «Трактату по алгебре» Валлиса.Приходится признать, что терминология и символика Ньютона по сравнению с лейбницевской довольно неуклюжи: флюксия (производная), флюэнта (первообразная), момент величины (дифференциал) и т. п. Сохранились в математике только ньютоновское обозначение «o» для бесконечно малой dt (впрочем, эту букву в том же смысле использовал ранее Грегори), да ещё точка над буквой как символ производной по времени.

Достаточно  полное изложение принципов анализа  Ньютон опубликовал только в работе «О квадратуре кривых» (1704), приложенной  к его монографии «Оптика». Почти  весь изложенный материал был готов ещё в 1670—1680-е годы, но лишь теперь Грегори и Галлей уговорили Ньютона издать работу, которая, с опозданием на 40 лет, стала первым печатным трудом Ньютона по анализу. Здесь у Ньютона появляются производные высших порядков, найдены значения интегралов разнообразных рациональных и иррациональных функций, приведены примеры решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.

«Универсальная  арифметика» Ньютона, латинское издание (1707)

В 1707 году выходит  книга «Универсальная арифметика». В ней приведены разнообразные  численные методы. Ньютон всегда уделял большое внимание приближённому  решению уравнений. Знаменитый метод  Ньютона позволял находить корни  уравнений с немыслимой ранее  скоростью и точностью (опубликован  в «Алгебре» Валлиса, 1685). Современный  вид итерационному методу Ньютона  придал Джозеф Рафсон (1690).

В 1711 году наконец напечатан, спустя 40 лет, «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». В этом труде Ньютон с одинаковой лёгкостью исследует как алгебраические, так и «механические» кривые (циклоиду, квадратрису). Появляются частные производные. В этом же году выходит «Метод разностей», где Ньютон предложил интерполяционную формулу для проведении через (n + 1) данные точки с равноотстоящими или неравноотстоящими абсциссами многочлена n-го порядка. Это разностный аналог формулы Тейлора.

В 1736 году посмертно  издаётся итоговый труд «Метод флюксий  и бесконечных рядов», существенно  продвинутый по сравнению с «Анализом  с помощью уравнений». Приводятся многочисленные примеры отыскания  экстремумов, касательных и нормалей, вычисления радиусов и центров кривизны в декартовых и полярных координатах, отыскания точек перегиба и т. п. В этом же сочинении произведены  квадратуры и спрямления разнообразных  кривых.[82]

Надо отметить, что Ньютон не только достаточно полно  разработал анализ, но и сделал попытку  строго обосновать его принципы. Если Лейбниц склонялся к идее актуальных бесконечно малых, то Ньютон предложил (в «Началах») общую теорию предельных переходов, которую несколько витиевато  назвал «метод первых и последних  отношений». Используется именно современный  термин «предел» (лат. limes), хотя внятное описание сущности этого термина отсутствует, подразумевая интуитивное понимание. Теория пределов изложена в 11 леммах книги I «Начал»; одна лемма есть также в книге II. Арифметика пределов отсутствует, нет доказательства единственности предела, не выявлена его связь с бесконечно малыми. Однако Ньютон справедливо указывает на бо́льшую строгость такого подхода по сравнению с «грубым» методом неделимых. Тем не менее в книге II, введя «моменты» (дифференциалы), Ньютон вновь запутывает дело, фактически рассматривая их как актуальные бесконечно малые.

Примечательно, что теорией чисел Ньютон совершенно не интересовался. По всей видимости, физика ему была гораздо ближе математики.

Механика

Страница  «Начал» Ньютона  с аксиомами механики

Заслугой  Ньютона является решение двух фундаментальных  задач.

Создание  для механики аксиоматической основы, которая фактически перевела эту  науку в разряд строгих математических теорий.

Создание  динамики, связывающей поведение  тела с характеристиками внешних  воздействий на него (сил).

Кроме того, Ньютон окончательно похоронил укоренившееся  с античных времён представление, что  законы движения земных и небесных тел совершенно различны. В его  модели мира вся Вселенная подчинена  единым законам, допускающим математическую формулировку.[85]

Аксиоматика Ньютона состояла из трёх законов, которые  сам он сформулировал в следующем  виде.

1. Всякое  тело продолжает удерживаться  в состоянии покоя или равномерного  и прямолинейного движения, пока  и поскольку оно не понуждается  приложенными силами изменить  это состояние.

2. Изменение  количества движения пропорционально  приложенной силе и происходит  по направлению той прямой, по  которой эта сила действует.

3. Действию  всегда есть равное и противоположное  противодействие, иначе, взаимодействия  двух тел друг на друга между  собой равны и направлены в  противоположные стороны.

Первый закон (закон инерции), в менее чёткой форме, опубликовал ещё Галилей. Надо отметить, что Галилей допускал свободное движение не только по прямой, но и по окружности (видимо, из астрономических соображений). Галилей также сформулировал важнейший принцип относительности, который Ньютон не включил в свою аксиоматику, потому что для механических процессов этот принцип является прямым следствием уравнений динамики (следствие V в «Началах»).Кроме того, Ньютон считал пространство и время абсолютными понятиями, едиными для всей Вселенной, и явно указал на это в своих «Началах».

Ньютон также  дал строгие определения таких  физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта) и сила. Он ввёл в физику понятие массы как меры инерции  и, одновременно, гравитационных свойств. Ранее физики пользовались понятием вес, однако вес тела зависит не только от самого тела, но и от его окружения (например, от расстояния до центра Земли), поэтому понадобилась новая, инвариантная характеристика.