Геостанционарная орбита. Исаак Ньютон

Геостационарная орбита (ГСО) — круговая орбита, расположенная над экватором Земли (0° широты), находясь на которой искусственный спутник обращается вокруг планеты с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг оси, и постоянно находится над одной и той же точкой на земной поверхности. Геостационарная орбита является разновидностью геосинхронной орбиты и используется для размещения искусственных спутников (коммуникационных, телетрансляционных и т. п.)

Спутник должен обращаться в направлении вращения Земли, на высоте 35 786 км над уровнем моря (вычисление высоты ГСО см. ниже). Именно такая  высота обеспечивает спутнику период обращения, равный периоду вращения Земли относительно звёзд (сидерические сутки: 23 часа, 56 минут, 4,091 секунды).

Идея использования  геостационарных спутников для  целей связи высказывалась ещё  К. Э. Циолковским и словенским теоретиком космонавтики Германом Поточником в 1928 г. Преимущества геостационарной орбиты получили широкую известность после выхода в свет научно-популярной статьи Артура С. Кларка в журнале «Wireless World» в 1945 году , поэтому на Западе геостационарная и геосинхронные орбиты иногда называются «орбитами Кларка», а «поясом Кларка» называют область космического пространства на расстоянии 36000 км над уровнем моря в плоскости земного экватора, где параметры орбит близки к геостационарной. Первым  спутником, успешно выведенным  на ГСО был Syncom-2, запущенный NASA в июле 1963 года.

Законы Кеплера  — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических  наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся  из решения задачи двух тел предельным переходом mp/mS → 0, где mp, mS — массы планеты и Солнца.

Первый  закон Кеплера (закон  эллипсов)

Каждая планета  Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и  степень его сходства с окружностью  характеризуется отношением ,

где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e-называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Второй  закон Кеплера (закон  площадей)

Каждая  планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена  радиус-вектор, соединяющий  Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и апогелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в  начале января Земля, проходя через  перигелий, движется быстрее, поэтому  видимое перемещение Солнца по эклиптике  к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя апогелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий  закон Кеплера (гармонический  закон)

Квадраты  периодов обращения  планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит. 

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты  определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон  Кеплера не совсем точен — в  действительности в него входит и  масса планеты:

где M — масса Солнца, а m1 и m2 — массы планет. 

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту  комбинацию гармонического закона Кеплера  и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды. 
 

Ньютон, Исаак

Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории. 

Ранние  годы

Вулсторп. Дом, где родился Ньютон.

Исаак Ньютон, сын мелкого, но зажиточного фермера, родился в деревне Вулсторп (англ. Woolsthorpe, графство Линкольншир), в год смерти Галилея и в канун гражданской войны. Отец Ньютона не дожил до рождения сына. Мальчик родился преждевременно, был болезненным, поэтому его долго не решались крестить. И всё же он выжил, был крещён (1 января[2]), и назван Исааком в честь покойного отца. Факт рождения под Рождество Ньютон считал особым знаком судьбы. Несмотря на слабое здоровье в младенчестве, он прожил 84 года.

Ньютон искренне считал, что его род восходит к  шотландским дворянам XV века, однако историки обнаружили, что в 1524 году его предки были бедными крестьянами. К концу XVI века семья разбогатела и перешла в разряд йоменов (землевладельцев).

В январе 1646 года мать Ньютона, Анна Эйскоу (англ. Hannah Ayscough) вновь вышла замуж; от нового мужа, 63-летнего вдовца, у неё были трое детей[5], она стала уделять мало внимания Исааку. Покровителем мальчика стал его дядя по матери, Уильям Эйскоу. В детстве Ньютон, по отзывам современников, был молчалив, замкнут и обособлен, любил читать и мастерить технические игрушки: солнечные и водяные часы, мельницу и т. п. Всю жизнь он чувствовал себя одиноким.

Отчим умер в 1653 году, часть его наследства перешла  к матери Ньютона и была сразу  же оформлена ею на Исаака. Мать вернулась  домой, однако основное внимание уделяла троим младшим детям и обширному хозяйству; Исаак по-прежнему был предоставлен сам себе.

В 1655 году Ньютона  отдали учиться в расположенную  неподалёку школу в Грэнтеме, где он жил в доме аптекаря Кларка. Вскоре мальчик показал незаурядные способности, однако в 1659 году мать Анна вернула его в поместье и попыталась возложить на 16-летнего сына часть дел по управлению хозяйством. Попытка не имела успеха — Исаак предпочитал всем другим занятиям чтение книг и конструирование различных механизмов. В это время к Анне обратился школьный учитель Ньютона Стокс и начал уговаривать её продолжить обучение необычайно одарённого сына; к этой просьбе присоединились дядя Уильям и грэнтемский знакомый Исаака (родственник аптекаря Кларка) Хэмфри Бабингтон, член кембриджского Тринити-колледжа. Объединёнными усилиями они, в конце концов, добились своего. В 1661 году Ньютон успешно закончил школу и отправился продолжить образование в Кембриджский университет.

В июне 1661 года 19-летний Ньютон приехал в Кембридж. Согласно уставу, ему устроили экзамен  на знание латинского языка, после чего сообщили, что он принят в Тринити-колледж (Колледж святой Троицы) Кембриджского  университета. С этим учебным заведением связаны более 30 лет жизни Ньютона.

Колледж, как  и весь университет, переживал трудное  время. Только что (1660) в Англии была восстановлена монархия, король Карл II часто задерживал положенные университету выплаты, уволил значительную часть  преподавательского состава, назначенную  в годы революции.[7] Всего в Тринити-колледже проживало 400 человек, включая студентов, слуг и 20 нищих, которым по уставу колледж  обязан был выдавать подаяние. Учебный  процесс находился в плачевном состоянии.

Ньютона зачислили  в разряд студентов-«сайзеров» (англ. sizar), с которых не брали платы за обучение (вероятно, по рекомендации Бабингтона). Документальных свидетельств и воспоминаний об этом периоде его жизни сохранилось очень мало. В эти годы окончательно сложился характер Ньютона — научная дотошность, стремление дойти до сути, нетерпимость к обману, клевете и угнетению, равнодушие к публичной славе. У него по-прежнему не было друзей.

В апреле 1664 года Ньютон, сдав экзамены, перешёл  в более высокую студенческую категорию «школяров» (scholars), что дало ему право на стипендию и продолжение обучения в колледже.

Несмотря  на открытия Галилея, естествознание и  философию в Кембридже по-прежнему преподавали по Аристотелю. Однако в сохранившихся тетрадях Ньютона  уже упоминаются Галилей, Коперник, картезианство, Кеплер и атомистическая теория Гассенди. Судя по этим тетрадям, он продолжал мастерить (в основном, научные инструменты), увлечённо занимался оптикой, астрономией, математикой, фонетикой, теорией музыки. Согласно воспоминаниям соседа по комнате, Ньютон беззаветно предавался учению, забывая про еду и сон; вероятно, несмотря на все трудности, это был именно тот образ жизни, которого он сам желал.

 Исаак  Барроу. Статуя в Тринити-колледже.

1664 год в  жизни Ньютона был богат и  другими событиями. Ньютон пережил творческий подъём, начал самостоятельную научную деятельность и составил масштабный список (из 45 пунктов) нерешённых проблем в природе и человеческой жизни (Вопросник, лат. Questiones quaedam philosophicae). В дальнейшем подобные списки не раз появляются в его рабочих тетрадях. В марте этого же года на недавно основанной (1663) кафедре математики колледжа начались лекции нового преподавателя, 34-летнего Исаака Барроу, крупного математика, будущего друга и учителя Ньютона. Интерес Ньютона к математике резко возрос. Он сделал первое значительное математическое открытие: биномиальное разложение для произвольного рационального показателя (включая отрицательные), а через неё пришел к своему главному математическому методу — разложению функции в бесконечный ряд. Наконец, в самом конце года Ньютон стал бакалавром.

Научной опорой и вдохновителями творчества Ньютона  в наибольшей степени были физики: Галилей, Декарт и Кеплер. Ньютон завершил их труды, объединив в универсальную  систему мира. Меньшее, но существенное влияние оказали другие математики и физики: Евклид, Ферма, Гюйгенс, Валлис и его непосредственный учитель  Барроу. В студенческой записной книжке Ньютона есть программная фраза:

В философии  не может быть государя, кроме истины…  Мы должны поставить памятники из золота Кеплеру, Галилею, Декарту и  на каждом написать: «Платон — друг, Аристотель — друг, но главный друг — истина»

В канун  Рождества 1664 года на лондонских домах  стали появляться красные кресты — первые метки Великой эпидемии чумы. К лету смертоносная эпидемия значительно расширилась. 8 августа 1665 года занятия в Тринити-колледже были прекращены и персонал распущен до окончания эпидемии. Ньютон уехал  домой в Вулсторп, захватив с собой основные книги, тетради и инструменты.

Это были бедственные  годы для Англии — опустошительная  чума (только в Лондоне погибла  пятая часть населения), разорительная  война с Голландией, Великий лондонский пожар. Но существенную часть своих  научных открытий Ньютон сделал в  уединении «чумных лет». Из сохранившихся  заметок видно, что 23-летний Ньютон уже свободно владел базовыми методами дифференциального и интегрального  исчислений, включая разложение функций  в ряды и то, что впоследствии было названо формулой Ньютона-Лейбница. Проведя ряд остроумных оптических экспериментов, он доказал, что белый  цвет есть смесь цветов. Позже Ньютон вспоминал об этих годах:

В начале 1665 года я нашел метод приближенных рядов и правило превращения любой степени двучлена в такой ряд… в ноябре получил прямой метод флюксий [дифференциальное исчисление]; в январе следующего года я получил теорию цветов, а в мае приступил к обратному методу флюксий [интегральное исчисление]… В это время я переживал лучшую пору своей юности и больше интересовался математикой и философией, чем когда бы то ни было впоследствии.

Но самым  значительным его открытием в  эти годы стал закон всемирного тяготения. Позднее, в 1686 году, Ньютон писал Галлею:

В бумагах, написанных более 15 лет тому назад (точно  привести дату я не могу, но во всяком случае это было перед началом моей переписки с Ольденбургом), я выразил обратную квадратичную пропорциональность тяготения планет к Солнцу в зависимости от расстояния и вычислил правильное отношение земной тяжести и conatus recedendi [стремление] Луны к центру Земли, хотя и не совсем точно.