Возведение многочлена в n –ую степень

(a –b)³ = a³ - 3a²b + 3ab²  - b³.                                                                          (7)

 

Эти  тождества  называют формулами сокращенного умножения. Они читаются так:

1. Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
2. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
3. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
4. Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
5. Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

6 . Куб суммы   двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное                  произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа  на квадрат второго числа плюс куб второго числа. 

7. Куб разности  двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа  на квадрат второго числа минус куб второго числа.     

Алгоритмы вычисление куба и  квадрата

суммы (разности) на языке  Pascal

Вычисление квадрата суммы (разности).

Var

A,b,c:single;

D:string;

Procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);

Begin

A:=StrToFloat(Edit1.Text);

d:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

If Edit2.Text:=‘+’ then

C:=a·a+2·a·b+b·b;

Else

C:=a·a-2·a·b+b·b;

Edit4.Text:=c;

End;

End. 
 

Вычисление куба суммы(разности)

Var

A,b,c:single;

D:string;

Procedure TForm1.Button1Click(Sender:TObject);

Begin

A:=StrToFloat(Edit1.Text);

d:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

If Edit2.Text:=‘+’ then

C:=a·a·a+3·a·a·b+3·a·b·b+b·b·b;

Else

C:=a·a·a-3·a·a·b+3·a·b·b-b·b·b;

Edit4.Text:=c;

End;

End. 

Я хочу рассмотреть, приведение целого выражения к стандартному виду многочлена через возведение многочлена в n –ую степень. Из школьного курса математики известны формулы: квадрат суммы (разности) двух чисел и куба суммы (разности) двух чисел. А как же возвести любой многочлен в n –ую степень, где n может быть как целым числом, так и дробным?  

   Сначала я взяла трехчлен и возвела его в квадрат: 

(a +b + c)² = ((a + b) +c)² = (a + b)² + 2( a + b) · c + c² =  a² + 2 ab +b² + 2ac +2bc +c² =           = a² + b² +c² + 2( ab + ac +bc ) 

Например:

(a +2b + 3)² = a² +4b² +9 + 2 (2ab + 3а +6b) = a² +4b² +9 + 4ab +6а +12b.

 

Итак, делаю вывод:

Квадрат суммы  трех чисел равен сумме их квадратов  плюс все возможные удвоенные произведения этих чисел взятых по два.

Аналогично 

(a -b - c)² = a² + b² +c² - 2( ab + ac +bc )

Итак

(a -b - c)² = a² + b² +c² - 2ab – 2ac – 2bc                                                       (8)

(a +b + c)² = a² + b² +c² + 2ab + 2ac +2bc                                                    (9)                                                                                                     

Пример:

(a -2b - 3)² = a² +4b² +9 - 2 (2ab +3а +6b) =  a² +4b² +9 -4ab – 6а - 12b.

 

Значит квадрат суммы нескольких слагаемых для любых чисел или выражений a ,j = 1, n верно тождество 

(a₁ + a₂ + …+ a_n )² = a₁² + a₂² +…+ 2(a₁ a₂ + a₁ a₃ +…+ a_i a_j +…+ a_n-1 a_.) 

Квадрат суммы  n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых вида

a_i a_j , где i < j.  
 

Пример: (2x³ + 2x² - 3x – 3)² = 4x⁶ + 4x⁴ + 9x² + 9 + 8x⁵ – 12x⁴ – 12x³ –     

- 12x² + 18x = 4x⁶ + 8x⁵ –8x⁴ – 24x³ - 3x² + 18x + 9. 

А сейчас рассмотрим, как возвести двучлен в n –ую степень, где n e N; т. e (а + b)ⁿ

  Известно, что               (а + b) ¹ = а + b                                                             (1)

                                         (а + b) ² = a² + 2ab +b²                                                 (2)

                                         (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                                     (3)

(a + b) ⁴ = (a + b) ³ · (a + b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) · (a + b) =

=  a⁴+ 3a³b+ 3a²b² + ab³ + a³b +3a²b²+ 3ab³+b ⁴ =  a⁴+ 4a³b+6a²b²+ 4ab³+b ⁴             (4) 

Рассмотрев формулы (1) - (4), можно заметить, что при  разложении (a + b)ⁿ многочлена получается сумма членов aⁿ , aⁿ־¹b , aⁿ־²b², …, abⁿ־¹ + bⁿ с некоторыми коэффициентами. Для их определения часто применяют треугольник Паскаля. Он устроен так. В его нулевой строке стоит единица, в первой строке стоят две единицы, далее в каждой следующей строке по краям стоят единицы, а каждое из оставшихся  

n – 1 чисел n-й строки равно сумме двух чисел, записанных над ним в предыдущей строке. 
 

              Номер

             Строки

0.                         1
1.                        1 1
2.                     1 2 1
3.                     1 3 3 1
4.                   1 4 6 4 1
5.                1 5 10 10 5 1
6.             1 6 15 20 15 6 1

…                      ……

1. Свойства треугольника  Паскаля:

1) В треугольнике  Паскаля каждое число кроме  крайних единиц равно

сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел  n-ой строки равна 2n, где n принадлежит  целым чис-

лам.

3) Сумма чисел  любой строки в два раза больше суммы чисел в пре-

дыдущей строке.

4) Числа, равноудаленные  от концов любой строки равны  между собой.

С_mⁿ=C_m^m-n 

В частности, используя  треугольник Паскаля, получим, что 

( a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5ab⁴ + b⁵ .                                  (5)

( a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a²b⁴ +6ab⁵ + b⁶ .                 (6)

Конечно, используя  треугольник Паскаля можно найти  разложение (a + b)ⁿ в многочлен для любого натурального n. Но этот процесс для больших n достаточно трудоемок. Кроме того, надо обосновать правильность треугольника Паскаля. Поэтому приведем общую формулу.

Для любого натурального числа n справедлива формула, называемая формулой бинома Ньютона

(a+b) - двучлен (бином)

(a+b)⁰=1

(a+b)¹=a+b

(a+b)²=C₂⁰a² + C₂¹ab + C₂²b²

и т.д. ;)

Свойства бинома Ньютона:

1) Бином Ньютона  содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные  коэффициенты, равноудаленные от  концов равны

между собой.

3) Формулу бинома  Ньютона можно записать символически:

                               _n 

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0

4) Любой член  можно выразить формулой: T_k+1=C_n^ka^n-kb^k 

( a + b)ⁿ = aⁿ + naⁿ־¹b + Cn²aⁿ־²b²+…+Cnªaⁿ־ªbª +…+ nabⁿ־¹ + bⁿ ,                  (7)

Где C_n^k  - число сочетаний из n по k.

                          С   =            

Слагаемые суммы  в правой части называют членами  разложения бинома Ньютона. Член aⁿ называют нулевым членом разложения бинома Ньютона, далее идут первый, второй и т.д. члены до n-го (равного bⁿ) включительно; k-й член бинома Ньютона имеет вид

    C_n^k aⁿ־^kb^k   (k≠0, 1 …n)

Формулу (7) можно  записать еще так:

                               _n  (7’)

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0

Правая часть  равенства  (7’) читается так: сумма  слагаемых    C_n^k aⁿ־^kb^k ,  взятая для целых k от 0 до n.

Числа C_n^k называют также биномиальными коэффициентами. Легко проверить, что коэффициенты C_n^k действительно равны соответствующим числам n-й строки треугольника Паскаля. При n = 1,2…6 формула (7) выражает приведенные выше равенства (1) – (6).

Например:

( 2 + b)⁵ = 2⁵ + 5· 2⁴ b + 10·2³ b² + 10·2² b³ + 5·2b⁴ + b⁵=

= 32 + 80 b + 80 b² + 40 b³ + 10b⁴ + b⁵ .

 

   ( a + b)ⁿ = ∑ C_n^k aⁿ־^kb^k                                                          

                   ^k=0 

Блуждание по прямой. Треугольник  Паскаля.

    Рассмотрим  задачу блуждания по прямой. За один шаг частица продвинется на расстояние h вверх, либо на то же расстояние вниз. Горизонтальную ось теперь удобно использовать для того, чтобы по ней откладывалось число шагов. Легко понять, что в этой задаче число возможных способов перемещения частицы за t шагов будет равно 2^t.

    Блуждание такого рода осуществляется в специальном приборе, который называется доской Гальтона. Устройство этого прибора таково: металлические шарики один за другим попадают в самый верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они должны выбрать путь направо либо налево. Затем происходит второй такой выбор и т. д. при тщательной подгонке деталей выбор пути оказывается вполне случайным: любой из 2^t способов

(в нашем случае  t = 5) равновозможен. Пропустив через прибор большое количество шариков, обнаруживают, что доля шариков, попавших в каждое из отделений внизу, примерно соответствует рассчитанным вероятностям.

Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физический механизм случайности, и займемся математикой. Выпишем числа в виде таблицы: