Возведение многочлена в n –ую степень

                 Министерство образования и науки Российской Федерации 
                       Главное управление общего и профессионального

                                   Образования Иркутской области  
                           Отдел образования Куйтунского района 
                                      МОУ Тулинской СОШ 
 
 

  
 
 
 

                                    Исследовательская работа  
 
 

                 Возведение многочлена  в n –ую степень 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила ученица 11 класса

информационно-технологического

  профиля 

Щербакова Елена

Руководитель  Шульгина С.И,

учитель математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Тулюшка. 2008г

Актуальность:

Тему своей  работы я выбрала не случайно. Изучая тему «Многочлены. Действия с многочленами», меня заинтересовал вопрос, существуют ли способы возведения многочлена в любую n-ую степень? Поэтому цель моей работы стало раскрытие данного вопроса. В ходе работы мною были рассмотрены вопросы школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Большая часть отведена использованию формулы бинома Ньютона для возведения многочлена в n-ую степень. Я хочу углубить свои знания по этой, очень интересной, теме. Моя исследовательская работа состоит из 14 страниц. Список литературы включает 5 источников. В работу включен алгоритм возведения в n-ую степень с использованием элементов языка программирования Pascal. В ходе работы мною также были рассмотрены и решены задачи возведения многочлена в n-ую степень. В моей работе рассказ ведется языком понятным любому читателю, который знаком с понятием «многочлена». 

Тема  исследования:

«Возведение многочлена в n –ую степень» 

Объект  исследования:

Способы возведения многочлена в n –ую степень. 

Предмет исследования:

Многочлен. 

Цель-

Познакомиться с различными способами возведения многочлена в n-ую степень. 
 
 

Задачи:

1. Собрать  сведения из истории математики о возведении многочлена в n –ую степень

2. Рассмотреть  теорию возведения многочлена в  n – ую степень

3. Подобрать  задачи с ее применением. 
 

Гипотеза

Я думаю, что,  изучив данную теорию,  и рассмотрев ее применение на практике,  расширю и углублю свои знания по теме, что будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе разрешения проблемных задач.  
 

Содержание: 

Актуальность, тема, объект и предмет исследования, цель, задачи, гипотеза …………………………………………….. …………………………………2 

1. Основная  часть

►Историческая справка о возникновении данной теории

►Сама теория доказательства

►Подборка задач с применением данной теории 

Многочлен. Действия над многочленами…………………………………………………………………4 - 5

Формулы сокращенного умножения……………………………………………………………………  6

Алгоритмы вычисление куба и квадрата суммы (разности) на языке Pascal……………………………………………………………………………7

Квадрат суммы (разности) трех слагаемых………………………………………………………………………8.

Квадрат суммы нескольких слагаемых………………………………………………………………………9 

Треугольник Паскаля. Его свойства Блуждание по прямой. ………………… Бином   Ньютона……………………………………………………………10-11. 
 

Исторические  сведения о формуле бинома Ньютона

Заслуга И. Ньютона  и Б. Паскаля…………………………………………......12. 

Формула бинома Ньютона для ненатуральных степеней.

Заключение…………………………………………………………………….13.

Список использованной литературы………………………………………….13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Многочлен.

Действия  над многочленами

В алгебре часто  рассматриваются алгебраические выражения, представляющие собой сумму или разность одночленов.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых  составлен многочлен, называются членами  этого многочлена.

Например, членами  многочлена  5nm² - 3m²k – 7nk² + 4nm являются 5nm²,                            

- 3m²k, - 7nk², 4nm.

Многочлен, состоящий  из двух членов, называется двучленом; многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом и т. д.

Примеры двучленов: a² - b² ; 5ab + 4c ;

Примеры трехчленов: a + 2b -3c ; ½ - bc + 3ab.

Одночлены являются частным случаем многочленов, именно как многочлены, составленные из одного члена. Воспользуемся этим соглашением  и сделаем следующие выводы:

1. Сумма и разность двух многочленов есть многочлен.
2. Произведение двух многочленов есть многочлен.

Отсюда непосредственно  следует такая общая теорема:

Всякое  целое алгебраическое выражение равно  некоторому многочлену.

Или, что то же самое:

Всякое  целое алгебраическое выражение может  быть преобразовано  в виду многочлена.

Действительно, целое алгебраическое выражение  есть запись действий сложения, вычитания  и умножения (в том числе и  умножения равных множителей, т.е. возведения в степень) над числами, часть  которых обозначена буквами. Как  заданные числа, так и отдельные  буквы представляют собой одночлены.

Произведя над  ними одно за другим указанные действия, мы будем получать результаты в виде многочленов в силу сформулированных выше выводов. И наконец, окончательный  результат тоже будет иметь вид  многочлена, что и требовалось доказать. Например:  

[(a + b)² - 4ab]·[(a – b)² + (a + 2b) (a + b)] + [2a² - (a + 2b) (a - 2b)]·[(a + 2b) (a + 3b) –

(a – b)·(a – 6b)] = (a² + 2ab + b² - 4ab) (a² - 2ab + b²+

a² + 2ab + ab + 2b²) + (2a² - 2a² - 4ab +ab + 2b²) (2ab + a² + 6b²  + 3ab - a² +

+ ab + 6ab - 6b²) = (a²  - 2ab + b²)(2a² + ab + 3b²) + (-3ab + 2b²)(12ab) =

= 2a⁴ + a³b + 3a²b² - 4 a³b - 2a²b² - 6ab³ + 2a²b² + ab³ + 3b⁴ - 36a²b² + 24ab³ =

= 2a⁴ - 3 a³b - 33a²b² + 19ab³ + 3b⁴       

Многочлен называется приведенным, если он не содержит подобных членов. Очевидно, что всякий многочлен равен некоторому приведенному многочлену.

Действительно, если многочлен содержит подобные члены, то их можно привести. В силу этого  всякое целое алгебраическое выражение  можно преобразовать к виду приведенного многочлена.

Очевидно, что  если два приведенных многочлена составлены из одинаковых одночленов, то они равны тождественно, т.е. их значения равны при всех численных  значениях входящих в них букв. Верна также и обратная теорема:

Если два приведенных  многочлена равны тождественно, то они составлены из одинаковых одночленов.

Доказательство  теоремы о тождестве довольно сложно:

Пусть f₁(x) и f₂(x) – тождественно равные многочлены. Будем считать, что они уже приведены к каноническому, т.е. к виду суммы степеней с некоторыми коэффициентами.

Составим многочлен  F(x) = f₂(x) - f₁(x).

Коэффициентами  в многочлене F(x) являются разности соответствующих коэффициентов в многочленах f₁(x) и f₂(x). По условию многочлен тождественно равен нулю, ибо f₁(x) и f₂(x) принимают одинаковые значения x. Если допустить, что F(x) формально отличен от нуля, то он обращался бы в нуль только при конечном числе значений для x, это противоречит тому, что он обращается в нуль при всех значениях x, т.е. при бесконечном множестве значений. Следовательно, F(x) равен нулю формально, что возможно, только если в записи многочленов f₁(x) и f₂(x) соответствующие коэффициенты равны. Теорема доказана.

Эти две теоремы  дают возможность ответить на такой  вопрос. Пусть даны два целых алгебраических выражения. Равны они тождественно или нет? Для решения этого вопроса достаточно привести каждое из выражений к виду приведенного многочлена. Если при этом окажется, что полученные многочлены составлены из одинаковых одночленов, то данные выражения тождественно равны. Если же полученные многочлены окажутся  различными, т.е. составленными из неодинаковых одночленов, то данные равны тождественно. 

Стандартным видом многочлена с одной переменной называется запись этого многочлена в порядке убывания степеней одночленов, каждый из которых записан в стандартном виде и среди которых нет подобных. 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀ 

Числа a_n, a_n-1,…, a₀ называются коэффициентами многочлена. При этом   a_n≠ 0.

Пример: 3x⁵ – 4x³ + 2x³ - 6x +1 – стандартный вид многочлена. 

Старший коэффициент 3.

Пусть дан многочлен  в стандартном виде: 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀

Коэффициент a_n≠ 0 называется старшим коэффициентом многочлена.

Многочлен с  одной переменной стандартного вида называется приведенным, если его старший коэффициент равен 1.

Любой многочлен  можно привести, разделив все его  коэффициенты на старший коэффициент  a_n. При этом корни многочлена не изменяются.

Пример: x³ – 2x³ + x – 1 – приведенный кубический многочлен.

Пусть дан многочлен в стандартном виде: 

                   P(x) = a_n nⁿ + a_n-1 x^n-1 +…+ a₁ x + a₀ 

Одночлен a₀ называется свободным членом многочлена. 

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. 

В некоторых  случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

(a +b) (a – b) = a² - b².                                                                                      (1)

(a + b)²  = a² + 2ab +b².                                                                                     (2)

(a – b)² = a² - 2ab + b².                                                                                     (3)

(a + b) (a²  - ab + b²) = a³ +b³.                                                                          (4)

(a – b) (a² + ab + b²) = a³ - b³.                                                                         (5) 

(a + b)³  = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.                                                                       (6)