Калькуляция целевых затрат. Множественная регрессия и мультиколлинеарность

До целевой калькуляции себестоимости спецификация продукта предусматривала 80 отдельных деталей. Ожидаемое число заказов, размещаемых по каждой комплектующей на протяжении всего жизненного цикла продукта, составляло 150, а прогнозируемые затраты на один заказ и получение по нему —200 у.е. Поэтому ожидаемые общие затраты по этой статье составляли 2,4 млн. у.е. (80 комплектующих × 150 заказов × 200 у.е. на заказ), что дает единичные затраты в 8 у.е. (2,4 млн у.е. / 300 000 ед.). Упрощенная конструкция и использование стандартизированных комплектующих, появившееся после функционального и стоимостно-функционального анализов, позволили сократить число комплектующих до 40. Новый подход к заказу и получению также позволил снизить число размещаемых заказов и сократить расходы на заказы (по числу со 150 до 100 заказов и по стоимости с 200 у.е. до 150 у.е. на заказ). Таким образом, общие прогнозные расходы на заказы комплектующих и их получение в течение всего жизненного цикла продукта после целевой калькуляции себестоимости равны 600 000 у.е. (40 комплектующих × 100 заказов × 150 у.е. на заказ), что дает пересмотренные единичные затраты в 2 у.е. (600 000 у.е. / 300 000 единиц).

Гарантирование качества включает инспекционные работы и тестирование выпускаемых камер. До целевой калькуляции себестоимости прогнозные затраты по этой статье составляли 60 у.е. (12 ч по 5 у.е. за час). Однако упрощенная конструкция означает, что камеру тестировать будет легче, в результате чего затраты этого рода составят 50 у.е. (10 ч по 5 у.е. за час). Расходы на повторные работы в 15 у.е. - это среднее значение затрат на переделки на одну камеру. Предыдущий опыт производства аналогичных видов продукции позволяет предположить, что каких-то переделок требует 10% выпускаемой продукции. Используя этот же процент для общего объема новых камер, которые будут выпущены за все время (300 000), получаем 30 000 камер, которые потребуют повторных работ, что дает средние расходы в 15 у.е. на одну камеру, подвергающуюся повторным работам. Поэтому прогнозные затраты на эти работы в течение всего выпуска камеры составят 4,5 млн у.е. (30 000 × 15 у.е.0), что дает средние расходы на единицу выпускаемой продукции по этой статье в 15 у.е. (4,5 млн у.е. / 300 000). Из-за упрощения конструкции доля камер, требующих возвращения на доработку, и средние расходы на эти повторные работы сократятся. По прогнозам, их доля составит 5%, а средние затраты на повторные работы снизятся со 150 у.е. до 120 у.е.. Поэтому пересмотренные оценки общих затрат по этой статье в течение всего времени производства составят 1,8 млн у.е. (15 000 переделываемых единиц по 120 у.е. на единицу), а прогнозные затраты на единицу продукции по этой статье станут равны 6 у.е. (1,8 / 300 000 ед.).

Прогнозируемые инженерные и конструкторские расходы на общее время выпуска видеокамеры и другие обеспечивающие расходы по прогнозам составляют 3 млн у.е., что дает единичные затраты по этой статье в размере 10 у.е.. Упрощенная конструкция и сокращенное число деталей позволяют сократить общие расходы по этой статье на 20%, до 2,4 млн у.е., в результате чего единичные затраты также сокращаются и становятся равными 8 у.е.. Плановые процессы совершенствования также позволят снизить прогнозные затраты на маркетинг, дистрибьюцию и послепродажное обслуживание. Кроме того, упрощенная конструкция продукта и использование меньшего числа деталей приведут к сокращению расходов на гарантийное обслуживание видеокамеры после продажи. Чтобы упростить рассматриваемый здесь пример, отклонения по непроизводственным расходам здесь не представлены, однако обратите внимание, что компания применяет функциональную систему калькуляции себестоимости. Все расходы, начисляемые на видеокамеру, осуществляются по факторам издержек, выбранным на основе причинно-следственных зависимостей.

 Рассмотрим на примере процесс определения целевой себестоимости 1 единицы продукции.

Производство потребует инвестиции в сумме 300 000 у.е., и компания планирует прибыль на инвестированный капитал 15%. Продажи должны составить 10 000 единиц по цене 23 у.е. за 1 единицу. Административные расходы планируются в сумме 50 000 у.е.

Определить целевую производственную себестоимость 1 ед. продукции.

Решение:

Продажи – 10 000 × 23 = 230 000 у.е.

минус

Надбавка (300 000 ×,15) = 45 000 у.е.

Административные расходы = 50 000 у.е.

Целевые производственные затраты, всего 230 000-45 000-50 000 = 135 000 у.е.

Целевые производственные затраты на 1 продукции = 135 000/10 000=13,5 у.е.

Следовательно, для осуществления планов предприятия производственная себестоимость 1 единицы продукции не должна превышать 13,5 у.е.

2 Множественная регрессия и мультиколлинеарность

 

Для определения функции затрат используют уравнение регрессии.

Уравнение регрессии показывает ожидаемую зависимость между зависимой переменной (в данном случае расходами) и одной или большим числом независимых переменных (т. е. фактором издержек), в основе которых лежат предыдущие наблюдения. Когда уравнение включает только одну независимую переменную, говорят о простой регрессии, и в этом случае можно нанести уравнение регрессии в виде графика как прямую линию регрессии. Когда уравнение включает две и более независимых переменных, речь идет о множественной регрессии.

Если имеется только одна независимая переменная и зависимость линейна, линия регрессии может быть описана в виде уравнения прямой линии:

 

у = а + bх,

где:

у — общие затраты за отчетный период при уровне активности в х;

а — общие постоянные издержки за отчетный период;

b — средние переменные издержки на единицу вида деятельности;

х — объем вида деятельности или фактора издержек за отчетный период.

Если, например, постоянные издержки за конкретный период равны 5 000 у.е., средние переменные издержки на единицу составляют 1 у.е., а фактором издержек являются часы труда основных работников, то

Общие затраты = 5000 + (1 × часы труда основных работников (х)), или

у = а + bх,

 поэтому у = 5000 + 1х

В отношении уравнения регрессии, которое описывает зависимость между зависимой переменной или одной или несколькими независимыми переменными, используется также термин целевая функция. Как правило, целевые функции вычисляются по предыдущим данным о расходах и уровнях видов деятельности. Оценивание расходов начинается с измерения прошлых зависимостей между общими расходами и потенциальными факторами, вызывающими эти расходы. В этом случае целью является использование предыдущих типов динамики затрат как вспомогательного средства для прогнозирования будущих расходов. Однако любые ожидаемые изменения обстоятельств, которые могут произойти в будущем, требуют корректирования предыдущих данных с учетом этих возможных изменений.

При этом существует опасность, что функции затрат, выведенные на основе прошлых данных, могут быть определены на основе ложной корреляции, которая может неожиданно прекратиться. Поэтому функции затрат не следует получать только на основе прошлых наблюдаемых статистических зависимостей.

Пример решения нахождения модели множественной регрессии.

Множественная регрессия с двумя переменными. Модель множественной регрессии вида Y = b₀ +b₁X₁ + b₂X₂;

1) Найти неизвестные b₀, b₁,b₂ можно, решим систему трехлинейных уравнений с тремя неизвестными b₀,b₁,b₂:

 

2) Или использовав формулы

 

 

Для этого строим таблицу вида:

 

Y	x1	x2	(y-yср)2	(x1-x1ср)2	(x2-x2ср)2	(y-yср)(x1-x1ср)	(y-yср)(x2-x2ср)	(x1-x1ср)(x2-x2ср)

 

Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом:

 

Здесь z'_jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z^-1 =(X^TX)^-1.

 

При этом:

 

где m - количество объясняющихпеременных модели.

В частности, для уравнения множественной регрессии

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂

с двумя объясняющими переменными используются следующие формулы:

Или

 

или

, , .

Здесьr₁₂ - выборочный коэффициент корреляции между объясняющими переменными X₁ и X₂; Sb_j - стандартная ошибка коэффициента регрессии; S - стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка).

По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценок b_j коэффициентов βj (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов.

Доверительный интервал, накрывающий с надежностью (1-α) неизвестное значение параметра βj, определяется как

 

Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Мультиколлинеарность - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров.

Если регрессоры в модели связаны  строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Данный вид мультиколлинеарности может возникнуть, например, в задаче линейной регрессии, решаемой методом наименьших квадратов, если определитель матрицы будет равен нулю. Полная мультиколлинеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в выходную переменную по результатм наблюдений.

В задачах с реальными данными  случай полной мультиколлинеарности встречается крайне редко. Вместо этого в прикладной области часто приходится иметь дело с частичной мультиколлинеарностью, которая характеризуется коэффициентами парной корреляции между регрессорами. В случае частичной мультиколлинеарности матрица будет иметь полный ранг, но ее определитель будет близок к нулю. В этом случае формально можно получить оценки параметров модели и их точностные показатели, но все они будут неустойчивыми.

Среди последствий частичной мультиколлинеарности можно выделить следующие:

- увеличение дисперсий оценок параметров;

- уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости;

- получение неустойчивых оценок параметров модели и их дисперсий;

- возможность получения неверного с точки зрения теории знака у оценки параметра.

Точные количественные критерии для  обнаружения частичной мультиколлинеарности отсутствуют. В качестве признаков ее наличия чаще всего используют следующие:

- Превышение некого порога модулем парного коэффициента корреляции между регрессорами  и

- Близость к нулю определителя матрицы;

- Большое количество статистически незначимых параметров в модели.

Существует два основных подхода  к решению этой задачи.

1. Метод дополнительных регрессий:

• строятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми остальными;

• вычисляются коэффициенты детерминации  для каждого уравнения регрессии;
• проверяется статистическая гипотеза  с помощью F-теста.

Вывод: если гипотеза  не отвергается, то данный регрессор не приводит к  мультиколлинеарности.

2. Метод последовательного присоединения:

• строится регрессионная модель с учетом всех предполагаемых регрессоров. По признакам делается вывод о возможном присутствии мультиколлинеарности;

• расчитывается матрица корреляций и выбирается регрессор, имеющий наибольшую корреляцию с выходной переменной;
• к выбранному регрессору последовательно добавляются каждый из оставшихся регрессоров и вычисляются скорректированные коэффициенты детерминации для каждой из моделей. К модели присоединяется тот регрессор, который обеспечивает наибольшее значение скорректированного.

Процесс присоединения регрессоров  прекращается, когда значение скорректированного  становится меньше достигнутого на предыдущем шаге.

Каким бы образом не осуществлялся  отбор факторов, уменьшение их числа  приводит к улучшению обусловленности  матрицы , а, следовательно, и к повышению качества оценок параметров модели.

Помимо перечисленных методов  существует ещё один, более простой, дающий достаточно хорошие результаты — это метод предварительного центрирования. Суть метода сводится к  тому, что перед нахождением параметров математической модели проводится центрирование  исходных данных: из каждого значения в ряде данных вычитается среднее  по ряду: . Эта процедура позволяет так развести гиперплоскости условий МНК, чтобы углы между ними были перпендикулярны. В результате этого оценки модели становятся устойчивыми (Построение многофакторных моделей в условиях мультиколлинеарности).