Шпаргалка по "Физике"

Из рис. 1 из геом. постр. следует: р²_е=( hv/с)²+( hv’/с)²-2 hv/с* hv’/с*cos ψ.(2)

Из релятивиских формул,связывающих  импульс и энергию мы получим  выражение: (р_е/ m₀c)²= (Ек/ m₀c²+1)²-1(3), где m₀-масса пакое электрона.

Использовав выр-е 1, 2 и 3 и сделав преобр-я  мы придем к форм-ле:

(h/ m₀c)*(1/ λ * λ’)*(1-cos ψ)= 1/ λ -1/ λ'= (λ’- λ)/ (λ’* λ)

Или ∆λ = λ’-λ =(h/ m₀c)*(1- cos ψ)=2* h/ m₀c*sin² ψ /2.(4)

Соотношение 4 показ-ет, что ув-ие длины  волны при рассеивании не зависит  от длины волны падающего света, а зависит только от угла рассеивания  кванта.

Величину   h/ m₀c=2,426 *10 ^-10см называют комптоновской длиной волны (λ_к)

 

42.Фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм

Фото́н (от др.-греч. φώς, род. пад. φωτός, «свет») — элементарная частица, переносчик электромагнитного взаимодействия, квант электромагнитного поля. Фотоны обозначаются буквой γ, поэтому их часто называют гамма-квантами (особенно фотоны высоких энергий); эти термины практически синонимичны.

Так как фотон обладает энергией W=hn, согласно формуле W=mc² он должен иметь массу m_ф=(hn)/c². Фотон движется со скоростью света с, поэтому его импульс равен: m_фc=(hn)/c. Из формулы следует, что с увеличением частоты излучения масса и импульс возрастают.

Рссмотрим свет как поток фотонов: I=Nhn, где N – число фотонов, падающих на площадь 1м² за 1с. Давление света: p=N((hn)/c) – для поглощающей площадки, p=2N((hn)/c) – для отражающей.

Корпускулярно-волновая двойственность свойств света: Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих противоположенных cв-в. Но есть закономерность: с уменьшением длины волны (увел. частоты) все более отчетливо сказываются квантовые свойства света (пример: красная граница фотоэффекта). Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми свойствами света находит простое истолкование при статическом подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. Квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку. Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Корпускулярные свойства обусловлены тем, что энергия и импульс излучения локализованы в дискретных «частицах» – фотонах, волновые – статистическими закономерностями распределения фотонов в пространстве, т.е. закономерностями, определяющими плотность вероятности попадания фотонов в различные точки пространства.

 

43 Гипотеза де Бройля

В 1924 году французский  физик Л. Де Бройль (L. de Broglie) высказал гипотезу о том, что установленный  ранее для фотонов корпускулярно-волновой дуализм присущ всем частицам –  электронам, протонам, атомам и так  далее, причём количество соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и для фотонов. Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно p, то с ней связана волна, частота которой ν = Ε/h и длина λ = h/p. Эти волны и получили название Волны де Бройля.

Для частиц не очень высокой  энергии v << c, где m и v – масса  и скорость частицы. Следовательно, длина Волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и  её скорость. Например частице с  массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует Волна де Бройля с λ ≈ 10−19нм, что лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому волновые свойства несущественны в механике макроскопических тел. Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина Волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10−2 нм, то есть в интервале длин волны рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.

Первый эксперимент подтвердивший гипотезу де Бройля было получено в 1927 году в опытах американского физика К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов ускорялся в электрическом поле с разностью потенциалов 100-150 В (энергия таких электронов 100-150 эВ, что соответствует λ ≈ 0.1 нм) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решётки. Было установлено, что электроны дифрагируют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля.

Подтвержденная на опыте  идея де Бройля о двойственной природе  микрочастиц – корпускулярно-волновом дуализме – принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (по традиции за ними сохраняется термин «частица») присущи и корпускулярные и волновые свойства, то, очевидно, любую из этих «частиц» нельзя считать не частицей, ни волной в классическом понимании. Возникла потребность в такой теории, в которой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы не как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга. В основу такой теорией – волновой, или квантовой, механики и легла концепция де Бройля. Это отражается даже в названии волновая функция для величины, описывающей в этой теории состояние системы. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность состояния системы, и поэтому о Волнах де Бройля часто говорят как о волнах вероятности (точнее амплитуд вероятности). Для свободной частицы с точно заданным импульсом, движущейся вдоль оси х, волновая функция имеет вид:

Где  = h/2π

В этом случае |ψ|2 = const, то есть вероятность обнаружить частицу  во всех точках одинакова.

 

44. Принцип неопределённости

Принцип неопределённости Гейзенберга — в квантовой  физике так называют закон, который  устанавливает ограничение на точность (почти)одновременного измерения переменных состояния, например положения и импульса частицы. Кроме того, он точно определяет меру неопределённости, давая нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий измерений.

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

где « » является постоянной Планка (h) поделенной на 2π. (В некоторых рассмотрениях «неопределенность» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распредения переменных, приводит для произведения неопределенностей к большей нижней границе h/2π.) Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определен точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни  мы обычно не наблюдаем неопределенность потому, что значение h чрезвычайно мало.

 

45. Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера в  квантовой физике — уравнение, связывающее  пространственное распределение амплитуды  вероятности с энергией частицы. Предложено австрийским физиком Эрвином Шрёдингером в 1925 в качестве окончательного объяснения атомной структуры с помощью представлений о волновой функции. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы.

В квантовой физике изначально вводится представления о вероятностном  поведении частицы путем задания  некоторой функции, называемой волновой и характеризующей вероятность  местонахождения частицы (см. Волновая функция). Затем выводится уравнение для этой функции.

 

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и  определив вместо этого волновую функцию ( ), необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения   в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция  задана в N-мерном пространстве, тогда  в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

 

 

где - постоянная Планка, m-масса частицы, -внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке

 — оператор Лапласа (или  лапласиан), эквивалентен квадрату  оператора набла, и в частном случае декартовых координат, имеет вид:

 

 

46. Смысл Пси(ф)-функции

Волновая функция (функция  состояния, пси-функция, амплитуда вероятности) — комплексная функция, используемая в квантовой механике для вероятностного описания состояния квантовомеханической системы. В широком смысле — то же самое, что и вектор состояния.

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в  данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния.

Волновая функция:

зависит от координат (или  обобщённых координат) системы и  формируется таким образом, чтобы  квадрат её модуля:

представлял собой плотность  вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами

Набор координат, которые  выступают в роли аргументов функции, представляет собой полный набор  физических величин, которые можно  измерить в системе. В квантовой  механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

 

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

 

Для волновых функций  справедлив принцип суперпозиции, заключающийся  в том, что если система может  пребывать в состояниях, описываемых  волновыми функциями  и , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией.:

при любых комплексных  с1 и с2.

В случае, когда пси-функция  не зависит от времени, она удовлетворяет  стационарному уравнению Шредингера. Пси-функции удовлетворяющие этому  уравнению Шредингера наз. собственными ф-ями.

 

47  Квантование энергии.

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О  величинах, которые могут принимать  только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.

В 1900 г. немецкий физик  М. Планк, изучавший тепловое излучение  твердых тел, пришел к выводу, что  электромагнитное излучение испускается  в виде отдельных порций - квантов - энергии. Значение одного кванта энергии  равно

ΔE = hν,

где ΔE - энергия кванта, Дж; ν - частота, с-1; h - постоянная Планка (одна из фундаментальных постоянных природы), равная 6,626·10−34 Дж·с. Кванты энергии впоследствии назвали фотонами.

Идея о квантовании  энергии позволила объяснить  происхождение линейчатых атомных спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии.

 

Еще в 1885 г. швейцарский  физик и математик И.Я. Бальмер  установил, что длины волн, соответствующие  определенным линиям в спектре атомов водорода, можно выразить как ряд  целых чисел. Предложенное им уравнение, позднее модифицированное шведским физиком Ю.Р. Ридбергом, имеет вид:

1 / λ = R(1 / n12 − 1 / n22),

где λ - длина волны, см; R - постоянная Ридберга для атома  водорода, равная 1,097373·105 см−1, n1 и n2 - целые  числа, причем n1 < n2.

Первая квантовая теория строения атома была предложена Н. Бором. Он считал, что в изолированном  атоме электроны двигаются по круговым стационарным орбитам, находясь на которых, они не излучают и не поглощают энергию. Каждой такой  орбите отвечает дискретное значение энергии.

48. Собственные значения и собственные функции

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор , который удовлетворяет соотношению , где λ — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору. Одному собственному значению может соответствовать несколько (линейно независимых) собственных векторов, в таком случае говорят о собственном подпространстве для данного собственного значения. Собственными векторами линейного преобразования называются собственные вектора матрицы, определяющей это преобразование.

 

Измерение в квантовой  механике — концепция, описывающая  возможность получения информации о состоянии системы путём  проведения физического эксперимента.

 

Результаты измерения  интерпретируются как значения физической величины, которой ставится в соответствие эрмитов оператор физической величины, или наблюдаемой. Сами значения измерений являются собственными значениями этих операторов, а после проведения измерения состояние системы оказывается в соответственном полученному значению собственном подпространстве.

Собственные функции, понятие  математического анализа. При решении  многих задач математической физики (в теории колебаний, теплопроводности и т.д.) возникает необходимость  в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L (y) = lу, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют С. ф. задачи, а соответствующие значения l — собственными значениями. Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое, то его собственные значения действительны, а С. ф., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество С. ф. счётно (задача имеет дискретный спектр); знание С. ф. и соответствующих собственных значений позволяет тогда при некоторых условиях получить решение задачи в виде ряда по С. ф. (см. Фурье метод). Если же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (например, если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум С. ф., и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по С. ф., аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (ортогональные многочлены и др.) служат С. ф. некоторых уравнений.