Золотое Сечение

      Так же математическим сочинением античной науки являются «Начала» Евклида. Это  научное произведение написано Евклидом в III  веке до нашей эры и содержит основы античной математики: элементарную  геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объёмов и др. Евклид подвёл в этом сочинении итог трёхсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

      Именно  из «Начал» Евклида к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в  крайнем и среднем отношении». Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок AB точкой С в таком отношении, чтобы часть отрезка CB так относилась к меньшей части AC, как отрезок AB к своей большей части CB, то есть AB:CB=CB:AC (отношение 1).

            Обозначим отношение 1 через x.. Тогда, учитывая, что AB=AC+CB, отношение 1 можно записать в следующем виде:

x= ,

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение 2 для вычисление искомого отношения x =x+1.

      Из  «физического» смысла отношения 1 вытекает, что искомое решение уравнения 2  должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения 2, которым мы обозначим через t, то есть t= 1,618.

      Леонардо  да Винчи назвал это число «золотым сечением», или «золотой пропорцией». Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал  такое название. Считается, что этот термин идёт от Клавдия Птолемея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал.

      Уравнение 2 нередко называют «уравнением золотой  пропорция».

      Заметим, что на отрезке AB существует ещё одна точка D, которая делит его «золотым сечением», так как

      «Золотое  сечение» широко встречается в геометрии. Из «Начал» Евклида, известен следующий способ геометрического построения «золотого сечения» с использованием линейки и циркуля. Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB=1 и AC=1/2. Тогда, в соответствии с теоремой Пифагора сторона CB=

Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок BD=CB-CD= . 

     Проведя дугу DB с центром в точке B до её пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деления отрезка AB в точке E «золотым сечение», поскольку 

     или     AB = 1= EB+AE = t + t .

      Таким образом, хорошо известный в Древнем  Мире простой прямоугольный треугольник  с соотношение катетов 1 : 2 мог  послужить основой для открытия «теорему квадратов», «золотой» пропорции и, наконец, «несоизмеримых отрезков» - трёх великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

      Многие  математические закономерности, как  говориться, «лежали на поверхности», их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к «золотому сечению», исследуя так называемый простейший прямоугольник с соотношение сторон 2 : 1, называемый так же «двухсмежным квадратом», так как он состоит из двух квадратов: 

     Если  вычислить диагональ DB двухсмежного квадрата, то в соответствии с теоремой Пифагора она равна DB=

      Теперь, если взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне AB двухсмежного квадрата, мы придём к «золотой пропорции», согласно теореме Пифагора, так как .

      Парадоксально, но теорема Пифагора знает каждый школьник, в то время как с «золотым сечением» знакомы далеко не все. Математическое открытие, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся учёных, математиков и философов: Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луку Пачиоли, Кеплера, Цейзинга, а в новейшее время – Флоренского, Гика, Корбюзье, Эйзенштейна, американского математика Вернера Хогата, создателя Ассоциации Фибоначчи, а также выдающегося учёного Аллона Тьюринга, внёсшего огромный вклад в развитие современной информатики, должно быть понятно и интересно всем людям.  
 
 
 
 

«Золотые» фигуры

      Как упоминалось раннее, «золотое сечение» очень хорошо используется в геометрии.

      Например, «золотым» прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором  отношение большей стороны к  меньшей равно «золотой» пропорции, то есть  

      Рассмотрим  случай простейшего «золотого» прямоугольника, когда AB = t и BC=1: 

      Найдём  теперь на отрезках AB и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны AB и DC в «золотом сечении».

Ясно, что  AE = DF = 1, тогда EB = AB – AE = t – 1 = .

      Соединим  теперь точки E и F отрезком EF и назовём этот отрезок «золотой» линией. При этом с помощью «золотой линии» EF «золотой» прямоугольник ABCD оказывается разделённым на два прямоугольника AEFD и EBCF. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то  этот прямоугольник есть ничто иное, как квадрат. Рассмотрим теперь прямоугольник EBCF. Поскольку его большая сторона BC = 1, а меньшая EB = , то отсюда следует, что их отношение BC : EB = t и, следовательно, прямоугольник EBCF  является «золотым». Таким образом, «золотая» линия EF расчленяет исходный «золотой» прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый «золотой» прямоугольник EBCF. Проведём теперь диагонали DB и EC «золотых» прямоугольников ABCD и EBCF. Из подобия треугольников ABD, FEC, BCE вытекает, что точка G разделяет «золотым сечением» как диагональ DB, так и «золотую» линию EF. Проведём новую «золотую» линию GH в «золотом» прямоугольнике EBCF. Ясно, что «золотая» линия GH разделяют «золотой» прямоугольник EBCF  на квадрат GHCF  и новый «золотой» прямоугольник EBHG. Более того, точка I делит «золотым сечением» диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов и «золотых» прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке O. Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и «золотого» прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму «золотого» прямоугольника. О применении «золотого» прямоугольника в архитектуре и живописи мы расскажем позже.

      «Золотая» пропорция связана с числом π  следующим соотношением : t=2cos36 = 2 cos π/5.

      Это формула, полученная в результате математического  анализа геометрических пропорций, является ещё одним свидетельством фундаментальности «золотой пропорции», которая наряду с числом π по праву может быть причислено к разряду важнейших математических констант.

      Слово «пентагон» (от греческого «pentagonon» - пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военного ведомства США, которое в плане имеет форму правильного пятиугольника.

            Однако фигура на рисунке имеет и другое название «пентаграмма» (от греческих слов «pentagrammon», «pente» - пять и «gramma» - линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты.

     Диагонали «Пентагона» образуют пятиугольную звезду. Доказано, что точки пересечения  диагоналей всегда являются точками  «золотого сечения». При этом они  образуют новый «пентагон» FGHKL. В  новом «пентагоне» можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один «пентагон», и этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, «пентагон» ABCDE как бы состоит из бесконечного числа «пентагонов», которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

     В «пентаграмме» можно найти огромное количество отношений «золотой пропорции». Например, отношение диагонали «пентагона» к его стороне равно «золотой» пропорции.

     Рассмотрим  последовательность отрезков FG, EF, EG, ЕВ. Легко показать, что они связаны  следующим отношением:

.

     «Пентаграмма» всегда вызывала особое восхищение у  пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище «пентаграмму», надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение.

     Пентаграмма включает в себя ряд замечательных  фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый «закон золотой чаши», который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть «пентаграммы» дает схематическое представление «золотой» чаши.

     «Пятиугольная звезда», входящая в «пентаграмму», состоит из пяти равносторонних «золотых»  треугольников, каждый из которых напоминает букву «А» («пять пересекающихся А»).

  Каждый «золотой» треугольник имеет острый угол А = 36° при вершине и два острых угла D= С = 72° при основании треугольника. Основная особенность «золотого» треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра АС = AD к основанию DC равно «золотой» пропорции  τ . Исследуя «пентаграмму» и «золотой» треугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB «пентагона» и делит сторону АС в точке Н золотым сечением. При этом возникает новый «золотой» треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла Н к точке Н' и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность «золотых» треугольников.

     Как и в случае с «золотым» прямоугольником  и «пентаграммой» бесконечное возникновение  одной и той же геометрической фигуры («золотого» треугольника) после  проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.

Платоновы тела

     Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков,  прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется  многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

     Издавна ученые интересовались «идеальными» или  правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), Пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое  правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все  грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах» Евклида есть строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

     Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число граней, число вершин и число плоских углов на поверхности тела.