Замечательные кривые вокруг нас

  Кривая  кратчайшего спуска. Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и «время».

  Рассмотрим  такой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В, чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В  кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно остановиться  на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь  от А до В. однако речь не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба. Но если сделать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к точке В, будет очень пологой и так же сравнительно длинной; первую  часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.  

  Итальянский физик и астроном Галилей (1564-1642) думал, что желоб кратчайшего  времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трех сот лет тому назад  доказали точным расчетом, что это  не так и что желоб нужно  выгибать по дуге циклоиды(опрокинутой  вниз). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны.

    Скатываю  по снежной горке, профиль который  выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем  в случае другой формы горки.

Р. Декарт                                                          Б.Паскаль                                  Г. Галилей

      Уравнение циклоиды в декартовой системе координат  имеет вид:         

Х. Гюйгенс 

• Астроида 

Астроида (звездообразная, от греческого звезда) – кривая, описываемая точкой подвижной  окружности, которая касается изнутри  неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без  скольжения. Таким  образом, Астроида принадлежит к гипоциклоидам. Если радиус неподвижной окружности равен а, то уравнение Астроиды можно представить в виде: .

Вывод: рассмотрела замечательные кривые в двух системах координат, вывела их уравнения в разных системах, построила графики кривых, оказалось, что  замечательные кривые имеют одинаковый  вид в полярной системе координат и в декартовой.