Замечательные кривые вокруг нас

Замечательные кривые вокруг нас.

  Любой предмет, который бы мы не взяли в руки, будет состоять из кривых. Самые  простые примеры кривых:  ракушка  улитки, грампластинки, цветы, сердечки, даже звёзды – это тоже кривые. Например: улитка представляет собой спираль  Архимеда, так же по спирали Архимеда идёт на грампластинке звуковая дорожка. Цветы имеют форму разных замечательных кривых. Например, листочки клевера имеют форму замечательной кривой под названием «роза», лепестки некоторых цветов заворачиваются по спирали Архимеда. Сердечки мы привыкли рисовать, тоже имеют вид замечательной кривой, которая называется кардиоида. А звёзды имеют вид астроиды.

   Все эти  кривые называют замечательными. 

  Цель  моей работы познакомиться  с разными видами кривых и вывести формулы различных замечательных  кривых в двух системах координат и построить их графики в этих же системах.

  Существуют две системы координат на плоскости - декартова и полярная.

• Декартова система координат.  

  На плоскости  общая декартова система задается точкой О (начало координат) и упорядочной парой приближенных к ней неколлинеарных векторов и . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов(   и ), называются осями координат данной  декартовой системы координат.

  Первая, определяемая вектором , называется осью абсцисс (ось Оx), вторая –осью ординат (ось Оy). Декартовыми координатами точки М называются упорядочная пара чисел (x;y), которые являются коэффициентами разложения вектора   по базису и   .          

  Декартова система координат называется прямоугольной, если вектора  и ортогональные, т.е. взаимно перпендикулярны.

  В школьных учебниках рассматривают только прямоугольную декартову систему  координат. Все графики функций  мы чертим в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.  

• Полярная  система координат.

Полярная система  координат на плоскости задаётся точкой О (полюс) и выходящим из нее лучом ON  (полярная ось). Координатами точки М служат расстояние p = OM и полярный угол = NOM.

 
 
 

Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости М пару чисел (p; ), достаточно рассматривать р и , подчиненные равенствам0 ≤ р < ∞; 0 ≤ ≤ 2π.

  Числа   p и связаны с прямоугольными координатами x и y следующими формулами:

                               

И обратно:                                             ,  

тогда                       

                              

     

  Самые распространенные кривые – это спирали  – плоские кривые линии, многократно  обходящие одну из точек на плоскости. Эта точка называется полюсом спирали. Наиболее часто встречающиеся спирали:

  - спираль Архимеда

  - квадратичная спираль

  - логарифмическая  спираль

  -спираль  Корню

  Более подробно я рассмотрела спираль  Архимеда.

• Спираль Архимеда.

В полярной координатной системе имеет вид  .

Для построения этой кривой составим таблицу опорных  точек:

 

Получим график имеющий  вид:  

Выведем уравнение  в декартовой системе координат:   ,    ,    

               в  декартовой системе координат уравнение имеет вид:  

Для построения в декартовой системе построим также  таблицу опорных точек:

 

получим  график имеющий вид: 

Геометрическим  свойством, характеризующим спираль  Архимеда, является постоянство расстояний между витками. Формулу этой спирали  имеет механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

• Квадратичная  спираль 

 Если положить рядом с центром вращающейся  грампластинки  натёртый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он ставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали.

Её уравнение в полярной системе  координат:                                                                                                         

       в декартовой системе координат:

                                                                                                                      

• Логарифмическая спираль

  Кривую  эту можно было бы назвать по имени  Декарта, так как впервые о  ней говорится в одном из его  писем. Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека  спустя Якобом Бернулли. На современных  ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали.

  

   Архимедову  спираль описывает точка, движущаяся  вдоль луча так, что расстояние  от начала луча возрастает  пропорционально углу его поворота.   

   Уравнение  в полярных координатах логарифмическая  спираль имеет вид 

  Спираль эта имеет бесконечное множество  витков и при раскручивании (как  и архимедова), и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую  спираль называют еще равноугольной  спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке  логарифмической спирали угол между  касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

  

    Логарифмическая  спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающийся в мясорубке ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали- под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

 

• Спираль Корню

Эта кривая названа  по имени французского физика  XIXв. А. Корню. Главной особенностью спирали является то, ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути.

 При строительстве  железных и шоссейных дорог  возникает необходимость связать  прямолинейные участки с участками  пути, где средства транспорта  движутся по дугам окружностей.  При этом важно, чтобы кривизна  пути изменялась равномерно, и  спираль Корню является идеальной  переходной кривой для закругления  железнодорожного пути. При этом  прямой участок пути должен  переходить в дугу спирали  Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности  спираль Корню стыкуются в  той ее точке, где ее кривизна  равняется кривизне данной окружности. 

   

• Кардиоида.

  Если  зафиксировать в плоскости некоторую окружность и начать катить по ней без скольжения другую окружность того же радиуса, то точка М на подвижной окружности будет описывать замкнутую траекторию. Эта плоская кривая называется кардиоидой (от греческих слов kardia – «сердце» и eidos – «вид»).

В полярной системе  координат  ,   , пусть

Для построения составим таблицу опорных точек:

 Получим график имеющий вид: 

 

Выведем уравнение кардиоиды  в декартовой системе:  

           *                                                                                                                                                                                                                                                                уравнение в декартовой системе координат. 

Составим таблицу  опорных точек:

Получим график имеющий вид:

 
 

• Циклоида 

  Циклоида (от греч. Cлова kykloeides – «кругообразный») – плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г.Галилей. Позднее этой же замечательной кривой занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б.Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. Х. Гюйгенс, французский философ и математик Р Декарт.  

  Циклоида  – кривая, которую  описывает точка  окружности, катящейся  без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости.