Квадратичные отображения проективных плоскостей

Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий  свойства фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях, например при проектировании. Такие свойства называются проективными. Параллельность и перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов - непроективные свойства, т.к. пересекающиеся прямые l и m могут спроектироваться в параллельные l' и m' , равные отрезки AB и BC - в неравные A'B' и B'C', и т.д. Проекция любой линии второго порядка есть снова линия второго порядка, так что принадлежность классу линий второго порядка - проективное свойство.

Сложным отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых  отношений. 
 
 

Сложное отношение:  .

Алгебраической  кривой второго порядка называется кривая L, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: 

где не все коэффициенты А, В и С равны  одновременно нулю.

Если  кривая L невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

- парабола. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение  понятия КОПП. Свойства КОПП. 

Рассмотрим  две проективные плоскости π  и π', точки А₁, А₂ в плоскости π и точки А₁', А₂' в плоскости π'. Пусть f₁ - проективное отображение пучка (А₁) на пучок (A₁'), f₂ - проективное отображение пучка (А₂) на пучок (А₂'). Пусть М - произвольная точка плоскости π; прямым m₁=A₁M и m₂=А₂М пучков (A₁) и (А₂) в отображениях f₁ и f₂ соответствуют прямые т₁', т₂' пучков (А₁') и (А₂'). Прямые т₁', т₂' пересекаются в точке М'. Точки М и М' будем считать соответственными в отображении f плоскости π на плоскость π '. Изучим его свойства.

Пусть т - произвольная прямая плоскости π, М - произвольная точка этой прямой. Прямой A₁M пучка (А₁) поставим в соответствие прямую А₂М пучка (А₂). Когда точка М описывает прямую т, прямые А₁М и А₂М опишут пучки (А₁) и (А₂), находящиеся в перспективном соответствии (прямая т - ось этого соответствия). При этом соответствующие им прямые А₁'М' и А₂'М' опишут пучки (А₁') и (А₂'), находящиеся в проективном соответствии. Известно (теорема Штейнера), что множество точек пересечения пар соответствующих прямых двух пучков, находящихся в проективном соответствии, образует овальную кривую второго порядка (конику), проходящую через центры пучков. Итак, когда точка М описывает прямую т, соответствующая ей точка М' описывает в плоскости π' конику к₂', проходящую через точки А₁' и А₂'. Это означает, что отображение f не является коллинеацией (прямой соответствует не прямая, а коника). Второе отличие отображения f от коллинеации состоит в следующем: если коллинеация является взаимно однозначным отображением точек плоскостей без исключения, то в данном случае имеются точки, которым соответствуют целые прямые. Это те точки, для которых наше построение не определено. Действительно, прямую А₁А₂ можно отнести как к первому, так и ко второму пучку; в первом случае эту прямую обозначим и, во втором - v. В отображениях f₁ и f₂ им соответствуют различные прямые u', v' пучков (A₁') и (А₂')_, которые пересекутся в некоторой точке А₃'. Но тогда точка А₃' соответствует каждой точке прямой А₁А₂.

Если  переменная точка М плоскости  π совпадает с точкой А₁ то прямая A₁M пучка (A₁) становится неопределённой, в качестве этой прямой можно взять любую прямую т этого пучка. Тогда точку А₁ можно рассматривать как точку пересечения прямых т и v=A₂A₁. Следовательно, точке А₁ соответствует точка М' пересечения прямой m'=f₁(m) пучка (А₁') с прямой A₂'A₃'=f₂(v). Когда прямая т описывает пучок (A₁), точка М' описывает прямую А₂'А₃'. Итак, точке А₁ соответствует прямая А₂'А₃'. Аналогично, точке А₂ соответствует прямая А₁'А₃', точке А₃ - прямая А₁'А₂'.

Итак, имеем: точкам А₁ А₂, А₃ соответствуют прямые А₂'А₃', A₁'A₃', А₁'А₂', а точкам А₁', А₂', А₃' - прямые А₂А₃, A₁A₃ А₁А₂. Так как произвольная прямая т плоскости π пересекает все стороны трёхвершинника А₁А₂А₃, то этой прямой соответствует в плоскости π' коника, проходящая через точки А₁', А₂', А₃'.Поэтому прямым плоскости π соответствуют в плоскости π' коники, проходящие через точки А₁', А₂', А₃'. Следовательно, эти коники образуют сеть. Это имеет место и для коник в плоскости π, которые являются образами прямых плоскости π'. 
 
 
 
 
 
 
 

      Выведем уравнения отображения f. В плоскостях π и π ' рассмотрим проективные реперы R=(A₁A₂,A₃,E) и R'=(A₁',A₂',A₃',E'). Тогда пучок (A₁) имеет уравнение , а пучок (А₁') - уравнение , где λ,μ-параметры. При этом: 
 
 
 

Так как  отображение f₁ пучка (А₁) на пучок (А₁') является проективным, то билинейное соотношение между параметрами λ и λ' имеет вид: 

Значению  λ=∞ соответствует значение λ'=0, а значению λ=0 соответствует значение λ'=∞. Подставим данные значения в формулу (*). 
 

E соответствует E'. A₁E соответствует A₁'E'. Отсюда λ=1 соответствует λ'=1. Имеем: 

Отсюда  получаем что: 
 
 
 

Аналогично  выводится и для пучков (A₂) и (A₂'). Получаем: 
 
 
 
 
 

Полученное  уравнение справедливо для точки  M₀. Возьмем произвольную точку M плоскости π и обозначим ее координаты x₁,x₂,x_3. Получим: 
 

Рассмотрим  прямую . При отображении данной прямой отображением (2) получаем конику (кривую второго порядка) с уравнением: 
 

Фундаментальные точки кривой. Кратные  точки кривой.

Вершины и стороны трёхвершинников А₁А₂А₃ и A1'А₂'А₃' называются фундаментальными точками и прямыми отображения f. Каждой фундаментальной точке соответствует фундаментальная прямая. Выясним характер этого соответствия. Пусть т - произвольная прямая, проходящая через А₁ и пусть точка X, перемещаясь по этой прямой, приближается к А₁. Тогда соответствующая точка X', перемещается по прямой m'=f₁(m). При этом прямой А₂Х пучка (А₂) соответствует прямая А₂'Х' пучка (А₂'). И чем ближе точка X приближается к А₁ тем больше прямая А₂Х стремится к совпадению с прямой у=А₂А₁ то есть X' при этом стремится к точке пересечения соответствующих прямых т' и у'=А₂'А₃'.

Итак, точкам, бесконечно близким к фундаментальной  точке (то есть «линейным элементам», проходящим через фундаментальную  точку), соответствуют точки фундаментальной  прямой. Эти точки высекаются теми прямыми, проходящими через фундаментальную  точку, которые соответствуют прямым, определённым линейным элементам, в  проективном соответствии пучков. 

Следовательно, пучок линейных элементов проективен прямолинейному ряду соответствующих точек.

Произвольной  кривой L порядка n плоскости π, не проходящей через фундаментальные точки, согласно уравнениям (2), в плоскости π' соответствует кривая L' порядка 2n. Эта кривая имеет фундаментальные точки A₁', A₂' и А₃' своими n-кратными точками. Действительно, через А₁' проведём произвольную прямую т₁' и сосчитаем, сколько из 2n-точек её пересечения с L' не совпадают с А₁'.Это можно сделать с учётом того, что точке, не принадлежащей фундаментальной системе, соответствует точка, тоже не принадлежащая фундаментальной системе. Прямой т' соответствует прямая т пучка (A₁), которая встречает L в n точках, лежащих вне фундаментальной системы. Им на т должны соответствовать п точек, не принадлежащих фундаментальной системе. Следовательно, А₁' является n-кратной точкой кривой L'. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Пусть t - касательная к L' в n-кратной точке А₁'. Для этой прямой точка А₁' является (n+1)-кратной точкой кривой L'. Следовательно, соответствующая прямая t пучка (А₁) имеет с L n общих точек, не принадлежащих фундаментальной системе. Так как L не проходит через А₁ то прямая t должна проходить через одну из точек пересечения L с фундаментальной прямой А₂А₃.

      Итак: кривой порядка n плоскости π, не проходящей через фундаментальные точки этой плоскости, соответствует в плоскости π' кривая порядка 2n, для которой фундаментальные точки этой плоскости являются n-кратными; касательные в одной из таких n-кратных точек соответствуют в проективном отображении пучков те прямые, проходящие через эту фундаментальную точку и те точки, в которых данная кривая пересекает противоположную фундаментальную прямую.

      Поэтому прямым плоскости π, не проходящим через фундаментальные точки, во второй плоскости соответствуют коники, проходящие через фундаментальные точки этой плоскости; произвольной конике соответствует кривая четвёртого порядка, для которой фундаментальные точки плоскости π' являются 2-кратными.

      Пусть теперь L проходит через точки А₁ А₂, А₃ соответственно v₁, v₂, v₃ раз. Тогда из соответствующей кривой выпадают прямые A₁'A₂', А₂'А₃' и А₁'А₃', которые рассматриваются как v_1-, v₂-, v₃-кратные. Оставшаяся часть имеет порядок 2n-(v₁+v₂+v₃); она проходит n-(v₂+v₃) раз через точку A₁', n-(v₁+v₃) раз через А₂', n-(v₁+v₂) раз через А₃'.

      Примеры:

1) конике, проходящей через А₁ соответствует кривая 3-го порядка, для которой точка А₁' является двойной, а точки А₂' и А₃' -простыми;

2) конике, проходящей через А₁ и А₂, соответствует коника, проходящая через А₁' и А₂';

3) конике, проходящей через А₁ А₂ и А₃ соответствует прямая.

      Пусть кривая L, проходящая через точку W прямой A₁A₂, имеет в этой точке с прямой p=A₃W μ последовательных общих точек (имеет с р μ-кратное касание). Прямая p имеет с кривой L ещё n-μ точек пересечения, не принадлежащих фундаментальной системе. Поэтому прямая р' не должна иметь с соответствующей кривой L' общих точек, принадлежащих фунд. системе, и в А₃' соответственно этому будут совпадать 2n-(n-μ) точек пересечения. Но прямая А₁А₂  кроме W имеет с L ещё n-1 общих точек, которым соответствуют столько же прохождений L' через А₃'. Следовательно, ветвь кривой, соответствующая прохождению через W, будет иметь с касательной р' ещё (2n-(n-μ))-(n-μ)=μ+l общих точек в А₃'.

Примеры.

μ=2. Кривая L однократно касается прямой р в точке W. Кривая L' в А₃' имеет точку перегиба с р' в качестве касательной (рис.1) 

μ=3. Кривая L имеет в точке W точку перегиба с касательной р в этой точке. Кривая L' имеет с р' в точке А₃' четыре общих точек (рис.2)

Коллинеация

      Рассмотрим  случай когда все три фундаментальные  точки коллинеарны. Если l прямая, содержащая фундаментальные точки, то каждый гомалоид распадается на l и ещё одну прямую (переменную). Постоянный множитель (левая часть уравнения прямой l) можно удалить из уравнения отображения, степень которого понизится до 1; две связки прямых плоскостей π и π' являются соответствующими, и квадратичное отображения вырождается в коллинеацию. Если точки, определяющие системы координат плоскостей, являются соответствующими, то уравнения имеют вид: 

то есть отображение является тождественным.

Другая  форма геометрического условия, при котором квадратичное отображения  становится коллинеацией, состоит в том, что прямой j₃ соответствует одна и та же прямая j₃' как проективных пучках (А₁) и (А₁') так и в проективных пучках (A₂) и (A₂'). 

Билинейные  уравнения

      Симметрические  уравнения 

квадратичного отображения общего вида являются линейными  как относительно координат x₁, x₂, x₃, так и относительно x₁', x₂', x₃'.

      Обратно: два произвольных билинейных уравнения  
 

где  
 

определяют  некоторое квадратичное отображение f.

Из данных уравнений имеем: 

где 
 
 

      Так как , то проходит через все общие точки коник Φ₁ и Φ₂, кроме одной: , то есть связка (Φ) имеет 3 простых базисных точки.

      Обратное  отображение f^-1 определяется аналогичными уравнениями: 
 

где  
 

      В случае специальных соотношений  между коэффициентами уравнения  могут определять любой специальный  вид f. Так, если две фундаментальные точки смежные, то уравнения 

эквивалентны  следующим уравнениям: 

если  все три точки фундаментальные  точки смежные , то уравнения