Квадратичные отображения проективных плоскостей

Дата добавления: 21 Июня 2012 в 12:23
Автор: p*****@yandex.ru
Тип работы: контрольная работа
Скачать полностью (374.82 Кб)
Работа содержит 1 файл
Скачать  Открыть 

Курсач.docx

  —  384.76 Кб

Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий  свойства фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях, например при проектировании. Такие свойства называются проективными. Параллельность и перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов - непроективные свойства, т.к. пересекающиеся прямые l и могут спроектироваться в параллельные l' и m' , равные отрезки AB и BC - в неравные A'B' и B'C', и т.д. Проекция любой линии второго порядка есть снова линия второго порядка, так что принадлежность классу линий второго порядка - проективное свойство.

Сложным отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых  отношений. 
 
 

Сложное отношение:  .

Алгебраической  кривой второго порядка называется кривая L, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: 

где не все коэффициенты А, В и С равны  одновременно нулю.

Если  кривая L невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

- парабола. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение  понятия КОПП. Свойства КОПП. 

Рассмотрим  две проективные плоскости π  и π', точки А1, А2 в плоскости π и точки А1', А2' в плоскости π'. Пусть f1 - проективное отображение пучка (А1) на пучок (A1'), f2 - проективное отображение пучка (А2) на пучок (А2'). Пусть М - произвольная точка плоскости π; прямым m1=A1M и m22М пучков (A1) и (А2) в отображениях f1 и f2 соответствуют прямые т1', т2' пучков (А1') и (А2'). Прямые т1', т2' пересекаются в точке М'. Точки М и М' будем считать соответственными в отображении f плоскости π на плоскость π '. Изучим его свойства.

Пусть т - произвольная прямая плоскости π, М - произвольная точка этой прямой. Прямой A1M пучка 1) поставим в соответствие прямую А2М пучка (А2). Когда точка М описывает прямую т, прямые А1М и А2М опишут пучки (А1) и (А2), находящиеся в перспективном соответствии (прямая т - ось этого соответствия). При этом соответствующие им прямые А1'М' и А2'М' опишут пучки (А1') и (А2'), находящиеся в проективном соответствии. Известно (теорема Штейнера), что множество точек пересечения пар соответствующих прямых двух пучков, находящихся в проективном соответствии, образует овальную кривую второго порядка (конику), проходящую через центры пучков. Итак, когда точка М описывает прямую т, соответствующая ей точка М' описывает в плоскости π' конику к2', проходящую через точки А1' и А2'. Это означает, что отображение f не является коллинеацией (прямой соответствует не прямая, а коника). Второе отличие отображения f от коллинеации состоит в следующем: если коллинеация является взаимно однозначным отображением точек плоскостей без исключения, то в данном случае имеются точки, которым соответствуют целые прямые. Это те точки, для которых наше построение не определено. Действительно, прямую А1А2 можно отнести как к первому, так и ко второму пучку; в первом случае эту прямую обозначим и, во втором - v. В отображениях f1 и f2 им соответствуют различные прямые u', v' пучков (A1') и (А2'), которые пересекутся в некоторой точке А3'. Но тогда точка А3' соответствует каждой точке прямой А1А2.

Если  переменная точка М плоскости  π совпадает с точкой А1 то прямая A1M пучка (A1) становится неопределённой, в качестве этой прямой можно взять любую прямую т этого пучка. Тогда точку А1 можно рассматривать как точку пересечения прямых т и v=A2A1. Следовательно, точке А1 соответствует точка М' пересечения прямой m'=f1(m) пучка (А1') с прямой A2'A3'=f2(v). Когда прямая т описывает пучок (A1), точка М' описывает прямую А23'. Итак, точке А1 соответствует прямая А23'. Аналогично, точке А2 соответствует прямая А13', точке А3 - прямая А12'.

Итак, имеем: точкам А1 А2, А3 соответствуют прямые А23', A1'A3', А12', а точкам А1', А2', А3' - прямые А2А3, A1A3 А1А2. Так как произвольная прямая т плоскости π пересекает все стороны трёхвершинника А1А2А3, то этой прямой соответствует в плоскости π' коника, проходящая через точки А1', А2', А3'.Поэтому прямым плоскости π соответствуют в плоскости π' коники, проходящие через точки А1', А2', А3'. Следовательно, эти коники образуют сеть. Это имеет место и для коник в плоскости π, которые являются образами прямых плоскости π'. 
 
 
 
 
 
 
 

      Выведем уравнения отображения f. В плоскостях π и π ' рассмотрим проективные реперы R=(A1A2,A3,E) и R'=(A1',A2',A3',E'). Тогда пучок (A1) имеет уравнение , а пучок (А1') - уравнение , где λ,μ-параметры. При этом: 
 
 
 

Так как  отображение f1 пучка (А1) на пучок (А1') является проективным, то билинейное соотношение между параметрами λ и λ' имеет вид: 

Значению  λ=∞ соответствует значение λ'=0, а значению λ=0 соответствует значение λ'=∞. Подставим данные значения в формулу (*). 
 

E соответствует E'. A1E соответствует A1'E'. Отсюда λ=1 соответствует λ'=1. Имеем: 

Отсюда  получаем что: 
 
 
 

Аналогично  выводится и для пучков (A2) и (A2'). Получаем: 
 
 
 
 
 

Полученное  уравнение справедливо для точки  M0. Возьмем произвольную точку M плоскости π и обозначим ее координаты x1,x2,x3. Получим: 
 

Рассмотрим  прямую . При отображении данной прямой отображением (2) получаем конику (кривую второго порядка) с уравнением: 
 

Фундаментальные точки кривой. Кратные  точки кривой.

Вершины и стороны трёхвершинников А1А2А3 и A1'А23' называются фундаментальными точками и прямыми отображения f. Каждой фундаментальной точке соответствует фундаментальная прямая. Выясним характер этого соответствия. Пусть т - произвольная прямая, проходящая через А1 и пусть точка X, перемещаясь по этой прямой, приближается к А1. Тогда соответствующая точка X', перемещается по прямой m'=f1(m). При этом прямой А2Х пучка (А2) соответствует прямая А2'Х' пучка (А2'). И чем ближе точка X приближается к А1 тем больше прямая А2Х стремится к совпадению с прямой у=А2А1 то есть X' при этом стремится к точке пересечения соответствующих прямых т' и у'=А23'.

Итак, точкам, бесконечно близким к фундаментальной  точке (то есть «линейным элементам», проходящим через фундаментальную  точку), соответствуют точки фундаментальной  прямой. Эти точки высекаются теми прямыми, проходящими через фундаментальную  точку, которые соответствуют прямым, определённым линейным элементам, в  проективном соответствии пучков. 

Следовательно, пучок линейных элементов проективен прямолинейному ряду соответствующих точек.

Произвольной  кривой L порядка n плоскости π, не проходящей через фундаментальные точки, согласно уравнениям (2), в плоскости π' соответствует кривая L' порядка 2n. Эта кривая имеет фундаментальные точки A1', A2' и А3' своими n-кратными точками. Действительно, через А1' проведём произвольную прямую т1' и сосчитаем, сколько из 2n-точек её пересечения с L' не совпадают с А1'.Это можно сделать с учётом того, что точке, не принадлежащей фундаментальной системе, соответствует точка, тоже не принадлежащая фундаментальной системе. Прямой т' соответствует прямая т пучка (A1), которая встречает L в n точках, лежащих вне фундаментальной системы. Им на т должны соответствовать п точек, не принадлежащих фундаментальной системе. Следовательно, А1' является n-кратной точкой кривой L'. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Пусть t - касательная к L' в n-кратной точке А1'. Для этой прямой точка А1' является (n+1)-кратной точкой кривой L'. Следовательно, соответствующая прямая t пучка (А1) имеет с L n общих точек, не принадлежащих фундаментальной системе. Так как L не проходит через А1 то прямая t должна проходить через одну из точек пересечения L с фундаментальной прямой А2А3.

      Итак: кривой порядка n плоскости π, не проходящей через фундаментальные точки этой плоскости, соответствует в плоскости π' кривая порядка 2n, для которой фундаментальные точки этой плоскости являются n-кратными; касательные в одной из таких n-кратных точек соответствуют в проективном отображении пучков те прямые, проходящие через эту фундаментальную точку и те точки, в которых данная кривая пересекает противоположную фундаментальную прямую.

      Поэтому прямым плоскости π, не проходящим через фундаментальные точки, во второй плоскости соответствуют коники, проходящие через фундаментальные точки этой плоскости; произвольной конике соответствует кривая четвёртого порядка, для которой фундаментальные точки плоскости π' являются 2-кратными.

      Пусть теперь L проходит через точки А1 А2, А3 соответственно v1, v2, v3 раз. Тогда из соответствующей кривой выпадают прямые A1'A2', А23' и А13', которые рассматриваются как v1-, v2-, v3-кратные. Оставшаяся часть имеет порядок 2n-(v1+v2+v3); она проходит n-(v2+v3) раз через точку A1', n-(v1+v3) раз через А2', n-(v1+v2) раз через А3'.

      Примеры:

1) конике, проходящей через А1 соответствует кривая 3-го порядка, для которой точка А1' является двойной, а точки А2' и А3' -простыми;

2) конике, проходящей через А1 и А2, соответствует коника, проходящая через А1' и А2';

3) конике, проходящей через А1 А2 и А3 соответствует прямая.

      Пусть кривая L, проходящая через точку W прямой A1A2, имеет в этой точке с прямой p=A3W μ последовательных общих точек (имеет с р μ-кратное касание). Прямая p имеет с кривой L ещё n-μ точек пересечения, не принадлежащих фундаментальной системе. Поэтому прямая р' не должна иметь с соответствующей кривой L' общих точек, принадлежащих фунд. системе, и в А3' соответственно этому будут совпадать 2n-(n-μ) точек пересечения. Но прямая А1А кроме W имеет с L ещё n-1 общих точек, которым соответствуют столько же прохождений L' через А3'. Следовательно, ветвь кривой, соответствующая прохождению через W, будет иметь с касательной р' ещё (2n-(n-μ))-(n-μ)=μ+l общих точек в А3'.

Примеры.

μ=2. Кривая L однократно касается прямой р в точке W. Кривая L' в А3' имеет точку перегиба с р' в качестве касательной (рис.1) 

μ=3. Кривая L имеет в точке W точку перегиба с касательной р в этой точке. Кривая L' имеет с р' в точке А3' четыре общих точек (рис.2)

Коллинеация

      Рассмотрим  случай когда все три фундаментальные  точки коллинеарны. Если l прямая, содержащая фундаментальные точки, то каждый гомалоид распадается на l и ещё одну прямую (переменную). Постоянный множитель (левая часть уравнения прямой l) можно удалить из уравнения отображения, степень которого понизится до 1; две связки прямых плоскостей π и π' являются соответствующими, и квадратичное отображения вырождается в коллинеацию. Если точки, определяющие системы координат плоскостей, являются соответствующими, то уравнения имеют вид: 

то есть отображение является тождественным.

Другая  форма геометрического условия, при котором квадратичное отображения  становится коллинеацией, состоит в том, что прямой j3 соответствует одна и та же прямая j3' как проективных пучках (А1) и (А1') так и в проективных пучках (A2) и (A2'). 

Билинейные  уравнения

      Симметрические  уравнения 

квадратичного отображения общего вида являются линейными  как относительно координат x1, x2, x3, так и относительно x1', x2', x3'.

      Обратно: два произвольных билинейных уравнения  
 

где  
 

определяют  некоторое квадратичное отображение f.

Из данных уравнений имеем: 

где 
 
 

      Так как , то проходит через все общие точки коник Φ1 и Φ2, кроме одной: , то есть связка (Φ) имеет 3 простых базисных точки.

      Обратное  отображение f-1 определяется аналогичными уравнениями: 
 

где  
 

      В случае специальных соотношений  между коэффициентами уравнения  могут определять любой специальный  вид f. Так, если две фундаментальные точки смежные, то уравнения 

эквивалентны  следующим уравнениям: 

если  все три точки фундаментальные  точки смежные , то уравнения 

Страницы:12следующая →
Описание работы
Проективная геометрия, раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не меняющихся при проективных преобразованиях, например при проектировании. Такие свойства называются проективными. Параллельность и перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов - непроективные свойства, т.к. пересекающиеся прямые l и m могут спроектироваться в параллельные l' и m' , равные отрезки AB и BC - в неравные A'B' и B'C', и т.д.
Содержание
содержание отсутствует